対称式の因数分解

質問

対称式　a4 + b4 + c4 -2(b2c2+c2a2+a2b2)は
※a,b,cの直後の数字は、指数を表します。

a4 + b4 + c4 -2(b2c2+c2a2+a2b2) =
(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c)

と因数分解できます(aについて整理したりすることで)が、
対称性を利用した美しい手法はないものでしょうか？

ある対称式が a+b+c を因数にもつというのは、どういったことなのでしょう？

回答No.3

spring135 · ベストアンサー

「対称式は基本対称式を用いて表せる。」という定理があります。

これと因数分解の可能性とは別の話です。

早い話が

a4 + b4 + c4 -2(b2c2+c2a2+a2b2)　　　　(1)

は因数分解できても

a4 + b4 + c4 -3(b2c2+c2a2+a2b2)

はやってみたことがないのでわかりませんが多分因数分解できないでしょう。

(1)の因数分解を強いて対称式に結び付けるとなると以下のようなところでしょうか。

a+b+c=A

ab+bc+ca=B

abc=C

と書くとこれらが3変数に関する基本対称式です。

よって(1)がA,B,C出かけることがわかっている。

まずはそれを証明してみよう。

a4 + b4 + c4 -2(b2c2+c2a2+a2b2)

=(a^2+b^2+c^2)^2-4(b2c2+c2a2+a2b2)

=[(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca]^2-4[(bc+ca+ab)^2-2abc(a+b+c)]
=(A^2-2B)^2-4(B^2-2CA)
=A^4-4A^2B+8CA
=A(A^3-4AB+8C)

さて、(1)は確かに基本対称式で表される。

そして何より注目すべきことは(1)がAと()の積という形で現れたということです。

(1)に戻ってよく見てみると

a,b,cはいずれも2乗で入っているので符号を変えても同じです。

従って

A=a+b+c

が(1)で現れるなら

A1=-a+b+c

A2=a-b+c

A3=a+b-c

もAと同じような形で現れるはずです。

ということで

a4 + b4 + c4 -2(b2c2+c2a2+a2b2)＝-A・A1・A2・A3

-はa^4の符号が+になるためです。

お礼

ありがとうございます。

＞そして何より注目すべきことは(1)がAと()の積という形で現れたということです。
対称式を基本対称式で表してみると見えてくることがあるのですね。
特に、A,B,Cのいずれかを因数にもつことを見つけるために
結構使えるなと感じました。

また、それ以上に、

>a,b,cはいずれも2乗で入っているので符号を変えても同じです。
>従って
>A=a+b+c
>が(1)で現れるなら
>A1=-a+b+c
>A2=a-b+c
>A3=a+b-c
>もAと同じような形で現れるはずです。

という部分が、素敵だなと感動しました。
偶数次数の対称式について言えることなので、
応用の幅も広いと思います。

ありがとうございました。（鱗▽鱗!!）

回答No.2

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

No.1です。

>例えば、問題の式a4+b4+c4-2(a2b2+b2c2+c2a2)にa=0を代入すると
>b4+c4-2×b2c2とb,cの対称式になり、これは
>-(b+c)(b+C)(b-c)(c-b)と因数分解されます。

a=0はどこから来たのでしょうか？通常の因数分解の場合、因数として(x-○)をくくり出す(○はある数値)のですが、今回は複数の文字を扱う点で導入が少し違います。a=0を仮定するということは、aが因数となっていることを仮定しているということになります。すなわち、
a4 + b4 + c4 -2(b2c2+c2a2+a2b2) = a(・・・)
のように因数分解することを目的に解いているということになります。
一般にa=○と置いて解くと(a-○)を因数に持ちます。
(この場合は、与えられている式が0になることとセットです。勝手にある文字をある数で置いたという論理は成り立ちません。それを裏付ける別のモノが必要になります。)

私は、
>対称式は、(a,b,c)→(a,c,b)→(b,a,c)→(b,c,a)→(c,a,b)→(c,b,a)のような入れ替えを行なっても、式が変わらないと言う性質をもっています。

というところから出発して、これを満たす対称式a+b+c=0を仮定した上で、左辺に代入して因数を引っ張り出すと言う方法をとっていました。

>(3)a=0のとき -(b+c)(b+C)(b-c)(c-b)
>から、-(a+b+c)(-a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)
>と因数分解される…
>のように考えていいでしょうか？

-(b+c)(b+C)(b-c)(c-b) →　-(a+b+c)(-a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)
が恒等的に成り立っているとは示せていません。ここでレファレンスとなっているのがa=0ですから、どう考えても入れようがありません。
a=0と置いたことで消えてしまったc2a2+a2b2がどこに入っているのかも不明です。

対象式は因数に対称性を持つと言う部分から出発するといいと思います。
何回も出しますが、この式では(a,b,c)→(a,c,b)→(b,a,c)→(b,c,a)→(c,a,b)→(c,b,a)の入れ替えが因数分解をしたあとでも成り立っていなければならないので、因数としてまずa+b+c=0を仮定した。ということになります。残りの(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c)も実は対称です。

お礼

>a=0はどこから来たのでしょうか？
>a4 + b4 + c4 -2(b2c2+c2a2+a2b2) = a(・・・)
>のように因数分解することを目的に解いているということになります。

今回、a=0を代入したのは、因数の見通しがつかなかったため、
a=0を代入することで、式を簡単にして考えたかったからです。
説明が不足してすみません。

>-(b+c)(b+C)(b-c)(c-b) →　-(a+b+c)(-a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)
>が恒等的に成り立っているとは示せていません。

ですが、問題の式が対称式であること、４次の斉次式であることから、
aがどのように配置されるか、ある程度の検討がつくと思います。
-(b+c)(b+C)(b-c)(c-b)にどうaを配置したら、
対称性が保たれるか…など。
-(a+b+c)(-a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)
とすれば、対称性が保たれますが、
そのほかにもaの配置の可能性があるかもしれません。
私は、先に因数分解の結論をしっているので、
視野が狭くなっているのではないかと感じています。

そこで、
-(b+c)(b+C)(b-c)(c-b) →　-(a+b+c)(-a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)
の矢印の部分を理論的に説明できないか考えています。

また、a4 + b4 + c4 -2(b2c2+c2a2+a2b2)
の美しい因数分解の解法についても、
何か新しい視点はないか引き続き探しています。

回答No.1

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

対称式は、(a,b,c)→(a,c,b)→(b,a,c)→(b,c,a)→(c,a,b)→(c,b,a)のような入れ替えを行なっても、式が変わらないと言う性質をもっています。

したがって恒等式の右辺も左辺も同じことがいえます。

>ある対称式が a+b+c を因数にもつというのは、どういったことなのでしょう？

a+b+c=0となる場合、恒等式の両辺は0になります。このとき、c=-a-bのように置いて左辺に代入すると0になることが確かめられます。

このようにして、±a±b±c=0となる組み合わせで下の式が0になるものを見つけていき、順次左辺を

a4 + b4 + c4 -2(b2c2+c2a2+a2b2)
=(a+b+c)(・・・)
=(a+b+c)(a+b-c)(・・・)
=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c)

のようにくくり出していきます。(・・・)は商。
なかには、±2a±2b±2c=0のように係数がつくものもあります。

３次式以上になると、そのほかにも、(a-b)(b-c)(c-a)のような括り出し方もあります。
このような時には、例えばaとbの２つだけの入れ替えを行うと符号が逆転するなどの性質を見極めておけば、項の構成を見ることである程度当たりをつけることができます。

こうやって対称式を因数分解していきます。

お礼

もう少し、深い部分について知りたいと考えています。
※決して頂いた回答が無駄だというわけではありません。
　回答いただいたこと、感謝しています。

a=bまたはa=-bを代入して式の値が0になれば、
(a+b)または(a-b)を因数に持つことから因数分解が見えてきますが、
今回の式には該当しません。

例えば、問題の式a4+b4+c4-2(a2b2+b2c2+c2a2)にa=0を代入すると
b4+c4-2×b2c2とb,cの対称式になり、これは
-(b+c)(b+C)(b-c)(c-b)と因数分解されます。

そこで、
(1)問題の式はa,b,cの対称式である。
(2)展開したとき、すべての項は４次の単項式である。
(3)a=0のとき -(b+c)(b+C)(b-c)(c-b)
から、-(a+b+c)(-a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)
と因数分解される…
のように考えていいでしょうか？

(1)～(3)から、結論の因数分解に至る部分は、
感覚的な推測なのですが、この隙間を裏付ける理由または
そうなるとは限らない反例などあるでしょうか？