既約テンソル演算子

質問

添付画像のラストの式JiとTn(s)の交換関係の導出ができないでおります。
どうやったら導けるのかわかりません。おわかりの方がいましたら教えていただけると助かります。

回答No.1

metzner · ベストアンサー

こんにちは。

表現の種類ｓは固定されているので、以下見やすいために省きます。

RT_nR^(-1) = T_mD_mn(R) ----(*)

という式のＲに微小回転のＲを代入し、微小パラメータの１次を比較するだけです。

R = I -iθ_aJ_a として、上式(*)の左辺を計算すると、

(I -iθ_aJ_a)T_n(I -iθ_aJ_a)^(-1)
= (I -iθ_aJ_a)R(I +iθ_aJ_a)
= T_n -iθ_a(J_aT_n - T_nJ_a)+O(θ_a^2)
= T_n -iθ_a[J_a, T_n] + O(θ_a^2)

上の式で次の事実を使いました。
すなわち、Rはユニタリー演算子であることより、

RR^+ =I

より、θ_aを実のパラメータとして、J_aはエルミート演算子であることが分かります。
よって

(I -iθ_aJ_a)^(-1)
=
(I -iθ_aJ_a)^+
=
(I +iθ_aJ_a)

さて、(*)の右辺を計算すると、

T_mR(I-iθ_aJ_a)
=
T_m(E_mn -iθ_a(J_a)_mn)
=
T_n -iθ_aT_m(J_a)_mn

ここでEは2s+1次の単位行列です。

よって微小パラメータθ_aの１次を比べて、

[J_a, T_n] = T_m(J_a)_mn

を得ます。

回答No.2

metzner

Ｎｏ１です。書き間違いを訂正します。

上式(*)の左辺を計算で、

(I -iθ_aJ_a)T_n(I -iθ_aJ_a)^(-1)
= (I -iθ_aJ_a)R(I +iθ_aJ_a)
=...

としましたが、2番目の式は

(I -iθ_aJ_a)T_n(I +iθ_aJ_a)

です。

お礼

遅れてすいません。読んで理解できました。
丁寧な数式導出ありがとうございます！