２階対称テンソル演算子

質問

群論の本を読んでいて、ウィグナーエッカルトの公式のところを読んでいたところです。

添付画像の式は２階対称テンソル量に対応する演算子で、独立成分５個、既約表現j=2に属する量なのですが、群論の本を読んでいたら、この式の右辺がその対角和（トレース）を０にするように調整してあるのは、x^2がスカラー量(j=0)だから、それを差し引いておかないとTabは既約表現になり得ないという解説がありました。(jはウェイトmの上限)

既約表現であることと、スカラー量を差し引いておくことの関係がつかめないでおります。
いろんな本をあさっていると、４極モーメントという言葉が出てきますが、それ以上よくわかりません。
手掛かりがありましたら教えてください。

回答No.1

metzner · ベストアンサー

こんにちは。

疑問点がはっきり把握できませんが、次のように全体を説明できると思います。

(x1,x2,x3)はj=1の表現の基底ですから、
x_i×x_j はテンソル積表現1×1の基底になります。
この表現は可約で、クレプシュゴルダンの定理により

1×1 = 2 + 1 + 0

と既約表現に分解できます。

x_i×x_j　をならべた行列をAとすると、Iを単位行列として、

A = {(A+A^t)/2 -(trA)I} + (A-A^t)/2 + (trA)I

という恒等式が成立します。（右辺を計算すれば明らかにAになります。）

これが上の既約表現の分解に対応しています。

すなわち、対称行列(A+A^t)/2は独立な成分が６つありますが、トレースをゼロであるという条件により、{(A+A^t)/2 -(trA)I}の独立な成分は5つになります。これがj=2の5次元表現の基底をなします。回転群の既約表現の次数は2j+1で今テンソル積表現からはj=2,1,0しか出てこないので６次元表現というのは出てこないことが分かります。これから対称行列そのものでは既約表現を張れないのは明らかに分かると思います。
1×1=2+1+0の分解から、6=5+1の分解のみが可能であることが分かります。trAがその１に対応しています。

反対称行列(A-A^t)/2は独立な成分が３つあります。これがj=1の３次元表現の基底をなします。

最後に(trA)Iは1次元表現j=0の基底をなします。

回答No.2

metzner

No1です。一部訂正しておきます。

恒等式は{(A+A^t)/2 -1/3(trA)I}のトレースがゼロである必要があるので、

A = {(A+A^t)/2 -1/3(trA)I} + (A-A^t)/2 + 1/3(trA)I

です。あとの議論はそのままでいいと思います。

お礼

ありがとうございます。各項でjがいくらなのかを調べればよいのですね