ノイマン変形の導出

質問

ノイマン変形の導出

アルフケン、ウェーバー物理数学Vol.3を独学しているのですが、ノイマン関数の式変形についてわからない部分があります。

添付画像の式(2.61)から式(2.63)が導出されるとのことですが、
1. 階乗関数の相補公式の使うところ
2. ln(ν!)の微分を使うところ
3. ロピタルの定理でf(x)とg(x)はそれぞれどういう式にしているのか?
などが分かりません。

式2.63までの導出を教えていただければありがたいですが、途中のヒントなどでも教えていただけると幸いです。

自分で変形しようとしたところ、式2.61のうち(x/2)^νをg(x)として、その微分をとれば(x/2)^ν(lnx - ln2)となる
部分はなんとなく分かりますが、f(x)の方は{(v-1)!/π}の微分をとらないといけないようになり、
ガンマ関数の相補公式を用いてもf(x)=-1/{sinπν/(-ν)!}のようになり、やはりわかりません。

よろしくお願いいたします。

回答No.2

gotouikusa · ベストアンサー

flex1101さんへ：ご質問の(2.61)式ではなく，Neumann関数の定義式(正確には，Bessel関数との関係)から導出してみました。
お手数ですが，次のページをご覧になってください：
http://blogimg.goo.ne.jp/user_image/1b/a5/2d61dd3309f84eb4950f1b8cb105a03e.jpg
また，まことに勝手ながら英語版の原文を，つぎのURLにUpload致します。必要があれば，ご確認ください。
http://blogimg.goo.ne.jp/user_image/49/92/60f3eac39d132d9459cb40adc62c1644.jpg
良い説明になっていないので，なにかありましたら，ご遠慮なく補足してください。
Gotouikusa

参考URL：

http://blogimg.goo.ne.jp/user_image/1b/a5/2d61dd3309f84eb4950f1b8cb105a03e.jpg

お礼

詳細な回答ありがとうございました。

リンクいただいた画像の式変形で大変よく理解できました。

オイラー定数 = -Γ'(1) となるというのも、重要な部分ですね。

ありがとうございました。

回答No.1

ZXikusa

flex1101さん，展開の「…」の部分は何でしょうか。
次のページにもこの結果がありますが，ほかにたくさんの級数表現があると思いますので，宜しければ補足していただけないでしょうか。
http://mathworld.wolfram.com/BesselFunctionoftheSecondKind.html
なお，(2.61)はv-->0の時－∞に発散するようです(添付画像)。

補足

ZXikusaさん

「…」の部分ですが、本（アルフケン & ウェーバー 物理数学 vol.3)においても、「…」のままの記載となっています。

推測ですが、この展開の部分はO(x^2)に含まれる部分ではないでしょうか。

(2.61)式の第一項が(2.62)のO(x^2)以外の部分に変形できるのではないかと考えていますが、まだ自分ではうまく変形できていません。

>(2.61)はv-->0の時－∞に発散するようです(添付画像)。

発散を避けるためにロピタルの定理を使用するのではないでしょうか。