BCH符号について

質問

シンドロームと誤り位置多項式σ(Z)の関係の多項式
S(z)=s1+S2Z+S3Z^2・・・・+S2Z^2t …(1) [S1,S2,S3,S2tのSの後につく1,2,3,2tは下付き文字です]
から
　　　 l
S(z)≡Σ｛eiα^ji/1-(α^ji)×Z｝modZ＾2t…(2)　[ei,jiのiは下付き文字です]
　　　i=1
の導出が出来ません。

不明点１　≡の意味。
不明点２　Si=eiα^ij1+e2α^ij2+……+elα^ijlとテイラー展開を利用して
　　　　　(1)式を
　　　　　S(z) = e1α^j1/{1-(α^j1)×Z}+ e2α^j2/{1-(α^j2)×Z}+……+elα^jl/{1-(α^jl)×Z}
　　　　　という形まで持っていったのですが、ここからがわかりません。

よろしくお願いします。

回答No.3

Nandayer · ベストアンサー

私がテキトーに決めた記法に合わせていただいてありがとうございます。
　 t970110 さんは、たいへん礼儀正しいですね。
　（逆にお礼も言わんヤツが多くて、それが前もってわかっていれば、回答なんか書かんのだが。）
　さて、本題です。

・１点目
　説明のために
　　　R(z) = α^j_1 + α^j_2*z + α^j_3*z^2 + ... + α^j_(2*t)*z^(2*t-1)
とおきます。すると、 (7.29) の右辺は、
　　　e_i*{R(z) + α^j_(2*t+1)*z^(2*t) + α^j_(2*t+2)*z^(2*t+1) + ... }
になります。
　 R(z) は z に関する次数が 2*t より小さいですから、z^(2*t)で割った商は０で余りは R(z) そのものです。一方、{} 内の R(z) 以外の部分は z に関する次数が 2*t 以上ですから、z^(2*t) で割り切れます。したがって、(7.29) の右辺を z^(2*t) で割った余りは e_i*R(z) になります。

・２点目
　　　Sum {i=1,l ; e_i * α^(k*j_i)}
を Sum を使わないで書き下すと、
　　　e_1*α^(k*j_1) + e_2*α^(k*j_2) + ... + e_l*α^(k*j_l)
になり、これは (7.26) の右辺の i を k で置き換えた式に等しいので、s_k になります。
　 (7.26) 式で i は 1, 2, ... 2*t のうち任意の整数（ (7.24) を見てください。）であり、 l は i の値にかかわらず一定（誤りの個数）であることに注意してください。

　以上、回答がずれていたら御指摘をお願いします。
　それと．．．
　えらそーに回答なんぞ書いておりますが、私は符号理論は、より易しい本で勉強した（それも途中で投げちまった）ので、この本は全然読んでません。だから実は全然詳しくないんです．．．

お礼

何度も、すいません。
貴重なお時間を割いていただいて、
わかりやすいご説明、ありがとうございました。
お陰様で、次のステップに進むことが出来ます。

Nandayerさんは、より易しい本で勉強されたとありましたが
どのような本をお使いでしたのですか？
最後に、またまた質問になってしまいますがお教えくださえないでしょうか？

リード・ソロモン符号の理解に向けて、頑張っていきます。
ありがとうございました。

回答No.2

Nandayer

私の手持ちの
　　今井 秀樹 著「符号理論」社団法人電子情報通信学会
と用語や式の表現が同じなので、この本を読んでおられることを想定してお答えします。
　 P162 ですね。

　下付きの i ，例えば t970110 さんの記法の ji は j_i と書くことにします。また、級数の和を、
　　　Sum{i=1,n ; S_i} = S_1 + S_2 + ... + S_n
と書くことにします。
　≡ の意味については uyama33 さんのおっしゃる通りです。
　 (7.29) より、
　　　e_i*α^j_i/(1 - α^j_i * z) = e_i * Sum {k=1,2*t ; α^(k*j_i) * z^(k-1)}　(mod z^2*t)
ですから、(7.30) の右辺は、
　　　 Sum {i=1,l ; e_i*α^j_i/(1 - α^j_i * z)}
　　≡ Sum {i=1,l ; e_i * Sum [k=1,2*t ; α^(k*j_i) * z^(k-1)]}　(mod z^2*t)
　　≡ Sum {i=1,l ; Sum [k=1,2*t ; e_i * α^(k*j_i) * z^(k-1)]}　(mod z^2*t)
ここで、和の順序を交換して、
　　≡ Sum [k=1,2*t ; Sum {i=1,l ; e_i * α^(k*j_i) * z^(k-1)}]　(mod z^2*t)
　　≡ Sum [k=1,2*t ; Sum {i=1,l ; e_i * α^(k*j_i)} * z^(k-1)]　(mod z^2*t)
(7.26) より、
　　≡ Sum [k=1,2*t ; s_k * z^(k-1)]　(mod z^2*t)
(7.28) より、
　　≡ S(z)　(mod z^2*t)
となります。

　申し訳ありませんが、打ち込みの都合上、t970110 さんの記法と違っています。紙に書き直して検算してみてください。
　本が違っていたら、認識を合わせたい（例えば、番号をつかわず式を書き下す）と思いますので、補足などを使って再質問してください。

補足

ありがとうございます。
Nandayerさんのおっしゃる通り、現在今井秀樹著「符号理論」で勉強しています。
リード・ソロモン符号が最終目標なんですが、
それまでの関門が大変で四苦八苦しております。

すいませんが、もう少し質問させてください。

・１点目
(7・29)式をz^2*tで割った余りが、
e_i * Sum {k=1,2*t ; α^(k*j_i) * z^(k-1)}　(mod z^2*t)
となるのですか？
検算してみたのですが出てきませんでした。

・２点目
下から２式目の
(7.26) より、
　　≡ Sum [k=1,2*t ; s_k * z^(k-1)]　(mod z^2*t)
式なんですが、
s_kとなるのですか？
Sum {i=1,l ; e_i * α^(k*j_i)}
から　s_lとなると思ったのですが。
そうだと、
(7.26) より、
　　≡ Sum [k=1,2*t ; s_k * z^(k-1)]　(mod z^2*t)
から
(7.28) より、
　　≡ S(z)　(mod z^2*t)
とは出来なくなってしまいますよね。

よろしくお願いします。

回答No.1

uyama33

不明点１　≡の意味。
この意味は、合同であることを意味します。
合同とは、
modZ＾2t
とありますので、Z＾2t　の倍数の部分を無視すれば
残りが等しくなる。
ということです。

お礼

ありがとうございました。

＝で進んでいた式が、
いきなり≡が出てきてビックリしてたのですが、
uyama33さんの
modZ＾2t
とありますので、Z＾2t　の倍数の部分を無視すれば
残りが等しくなる。
と言うご説明でよく理解できました。