Σから分数への変換

質問

化学科の者です。

画像を添付しました↓
http://d.hatena.ne.jp/ao-1/20090717/1247850795

この画像の下の式について質問なんですが、Σから分数へ変換しています。この式の導出を詳しく教えて貰えないでしょうか？

回答No.2

proto · ベストアンサー

Σから分数への"変換"というのがなんとも"らしい"言い方ですね。

さて、Σ[k=1,n-1]{p^k}については＃１さんの言うとおり、等比数列の和の公式に当てはめるだけで終わりです。

Σ[k=1,n-1]{k*p^k}については、
　　Sn = Σ[k=1,n-1]{k*p^k}
と置いてから、Sn-p*Snを計算するのが教科書的ですが、次のような方法もあります。
　　Σ[k=1,n-1]{p^k} = (p-p^k)/(1-p)
より両辺をpで微分すると
　　Σ[k=1,n-1]{k*p^(k-1)} = (1-n*p^(n-1)+(n+1)*p^n)/((1-p)^2)
両辺にpを掛けると
　　Σ[k=1,n-1]{k*p^k} = p*(1-n*p^(n-1)+(n+1)*p^n)/((1-p)^2)

お礼

回答ありがとうございます。
とても分かりやすいです。
助かりました！！！

回答No.1

rnakamra

等比数列の和の公式です。
初項a,公比r(≠1),項数nの等比数列の和
Σ[k:1→n]ar^(k-1)=(a-ar^n)/(1-r)
となります。

お礼

回答ありがとうございます。
助かります。