クリストッフェル記号というか、テンソルの添え字について

質問

閲覧ありがとうございます。よろしくお願い致します。
クリストッフェル記号はテンソルではないという話の部分で、クリストッフェルの変換則の式を導きたいのですが、テンソルの添え字の操作（？）でわからないところがあるので質問させて頂きます。

添付の画像に数式を示してあります（読みづらかったらすいません^^;）
右辺（２）と左辺の式の係数を見比べて、クリストッフェルの変換則が導かれると本に書いてあります。
しかし私は、（１）を（３）のようにしてもよいと思ったのですが、これではどうしていけないのでしょうか？
（１）→（３）は、添え字γをμ’に変えただけです。（１）でγはダミー指標なので別の文字に置き換えることは何ら問題はないと思ったのですが…。

どうかご教授下さればと思います。よろしくお願い致します。

回答No.3

eatern27 · ベストアンサー

例えば、Aというベクトルがあるとしましょう。
Aというベクトルのｘ成分はA_x、ｙ成分はA_yなどのように表しますよね。A_xを１番目の成分という意味でA_1と、A_yを２番目の成分という意味でA_2のように書いても構いませんよね。

ｘｙ軸とは異なるｕｖ軸を考えている時でも同様に、u成分A_uをA_1と,v成分A_vをA_2の表記しても構わないはずです。

全く同じ記号を使ってますが、ｘｙ軸で考えている時のA_1,A_2と、uv軸で考えている時のA_1,A_2は当然違うものを表しています。
ですので、座標変換を考える時のように１つの式(文脈)の中に両方の意味のA_1などが出てくる時には、混乱を避けるため何らかの方法でこの２つを区別する必要があります。

その１つの方法が、
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB
のように、Ａ自体にプライムをつけるという方法(例:xy軸の時にはつけない、uv軸の時には付けるなど)です。多分、この書き方が主流です。

ただ、これだと、どうしてもＡとＡ’の２つのベクトルが登場しているように見えますよね。それを嫌って(←他にも理由があるかもしれません)、μのような添え字にプライムをつける事があります。この場合、プライムの有無には当然意味があるので、ダミーだからと言って勝手にプライムを付けたり消したりする事はできません。(具体的に書き下した時に違うものを表す事になるという事です)

お礼

ご回答ありがとうございます。

なるほど！プライムすんごく大事ですね！！自分の考えがまったく間違っていることがよくわかりました。
ダミーだからと言って、ただ単に展開すると（２次元で）
　A^x e_x = A^0 e_0 + A^1 e_1
　A^y' e_y' = A^0 e_0 + A^1 e_1　　（←　A^0' e_0' + A^1' e_1'　と書くべきなんですね）
となって、まったく同じように見えてしまいますが、基底が違うから実は全然違う式なのですね。
じっくり読んでいたつもりでしたが、まだまだ理解が曖昧すぎですね。もっと精進したいです。
どうもありがとうございました。

回答No.4

yokkun831

>プライムは見やすくするための飾りみたいなもので

プライムは飾りでもなければ、文字が足りなくなったときの補充でもありません。
No.3さんの説明が詳しいですが、たとえば座標による微分を
∂_μ≡∂/∂x^μ
と略記することがありますが、x→x'と変換後の座標微分を
∂_λ'≡∂/∂x '^λ≡∂/∂x^λ'
のように略記する約束なのです。

したがってクリストッフェル記号やテンソルの添字にプライムのあるのとないのと同居してはいけません。
同居が許されるのは座標変換などに限られます。

お礼

ご回答ありがとうございます。

x'^λ　と　x^λ'　の違い（というか、同じだけど何故こう書くのか）がよくわかりました！
いやはや、自分の認識の甘さに反省するばかりです。

ありがとうございました。機会があればまたよろしくお願い致します。

回答No.2

ryn

確かにγはダミーなのでγ→δなどのように他のダミー文字に置き換えることはできますが，
ダミーでないμ'に置き換えてはいけません．
これが可能なら
　γ→β
　γ→λ
とも置き換えられることになりそうです．
(μ'に置き換えると式が簡単になることからμ'を選んだのだと思いますが)

質問者さんの変形は
　Σ_{k=1}^n k = n(n+1)/2
におけるダミー k を n に置き換えたのと同じようなことをやっています．
もちろんダミー文字 k を他のダミー文字 i に変えるのであれば問題ありません．

補足

ご回答ありがとうございます。

おっしゃる通りμ’は左辺に出ているのですが、μ’は左辺でもダミー指標として現れているので、右辺で同じ文字を用いることができると思ったのですが…。
実際にこのダミーを展開して書いてみると、第０～３成分での係数が、（１）（３）ともに等しくなっていると思うのですが。

今一度お願い致します。

回答No.1

yokkun831

変換前後の座標をダッシュ（プライム）の有無で表すのが，通常の表記法です。このルールに従えば，クリストッフェル記号の添え字にプライムのあるのとないのとが混在するのはまずいのではないでしょうか？

補足

ご回答ありがとうございます。

確かにご指摘の通り、プライムが右辺のクリストッフェルにも付いているのは気になります。しかし、プライムは見やすくするための飾りみたいなもので、本質的な意味を持ってはいないと解釈しているのですが。。。ましてや今はダミー指標なので、何も問題ないという気がしてしまいます。

よろしくお願いします。