連立方程式の整数解の個数の問題がわかりません。

質問

（X－２）（X－５）＜０…(1)
　　　　X（X－a）＜０…(2)　　の両方を満たす整数Xがただ１つ存在するようなaの範囲を求めよ。

この答えは、３＜a≦４なのですが、なぜ４のほうは≦になるのですか？

＝があるということは４を含んでいることになって、整数Xは３と４の２つとなっておかしいとおもうのですが、３＜a＜４とするのはなぜ間違いなんですか？

どなたかできるだけ簡単に教えてください。お願いします。

回答No.7

yyssaa · ベストアンサー

補足質問
なぜ、a＝４にしても整数Ｘが４にならないのかがわかりません。について

X（X－a）＜０…(2)にa＝４を代入してXの範囲を求めると、
X（X－４)＝０の解はX＝０とX＝４ですから、０＜X＜４が(2)式を満たすXの範囲になり、
Ｘ＝４にはなりません。
　なお、（X－２）（X－５）＜０…(1)を満たすXの範囲は２＜X＜５ですから、
０＜X＜４と２＜X＜５の両方を満たす整数Xはただ１つX＝３だけになります。

回答No.9

nancy_schwarz

先の『補足質問への回答』への補足です。
補足質問で「どうして…の場合を考えるのかわからない」とありました。
前述のように実際には考えないのですが、たとえば式(1)の
　　　(X-2)(X-5)<0
を満たすXの範囲は
　　　X-2>0 かつ X-5<0 すなわち 2<X<5
の場合と
　　　X-2<0 かつ X-5>0 すなわち X<2, 5<X
の場合があります。同様に式 (2) からも２つの場合があるので、
これらの場合を記述したうえで、他の条件により「考えなくていい」、
この場合は題意に沿わないケース、逆に考えるべきケースを
明言するというステップが必要です。

回答No.8

nancy_schwarz

補足質問に対する回答です。

論旨としては質問者の通り、2<X<5 のときと 0<X<a のときを考えればいいです。
実際私の回答でもそのように記述してありますね。
これは一応数学の問題なので、式 (1)、 (2) を満たす場合の記述はしたうえで、
その中で「妥当な」場合を考えるというステップを踏むことが必要です。
一般論として、「これこれの場合は考えなくてよい」という主張をするときも、その理由
を詳らかにしないといけないのが、数学の面倒なところです。

補足以外のところはご理解いただけたでしょうか？

回答No.6

ferien

>４に＝をつけても、４は範囲にはいらないのがなぜなのかがわかりません・・・。

２＜ｘ＜５と０＜ｘ＜ａの共通部分が解ですが、ａにいろいろ値を入れて言葉で言い換えてみます。

ａ＝３．５のとき、０＜ｘ＜３.５……ｘは０より大きく３.５より小さい。
当然ｘに４は入ってません。整数解は、ｘ＝３

ａ＝４のとき、０＜ｘ＜４……ｘは０より大きく４より小さい。
ｘに４は入ってません。整数解はｘ＝３

ａ＝４.５のとき、０＜ｘ＜４.５……ｘは０より大きく４.５より小さい。
ｘに４が入っています。整数解は、ｘ＝３，ｘ＝４

ａが４を越えたときだけ、ｘの範囲の中に４が入っています。
式だけではどうしても理解できないときは、言葉で置き換えてみてはどうでしょうか？

回答No.5

Kules

>a＝４にしても整数Ｘが４にならないのかがわかりません。
「a=4でX=4が(2)の解じゃないから」という回答ではだめですかね？
(2)の不等式が言っているのは、「X(X-a)が負になるようなXを決めろ」ってことですよね？
ここに、X=4,a=4を代入すると
4*(4-4)=0なので不等式を満たしません。
よって、a=4であってもXの解に4は含まれません。

こんな感じでいかかでしょうか？

参考になれば幸いです。

お礼

>「a=4でX=4が(2)の解じゃないから」
わかりました。ほんとに助かりました。ありがとうございます。

回答No.4

nancy_schwarz

そもそもこの問題は、最初に (1)、(2) を満たす整数 X の範囲を求めるというステップ１と、
　ステップ１の範囲でその整数 X をただ１つにするというステップ２の２つのプロセスを経なければなりません。
　式 (1) からは、X の範囲が
　　　　　(1-a) 開区間 2 < X < 5 と (1-b) 2つの区間 X < 2 かつ 5 < X
となりますが、式 (2) の条件と
　(*) 「ただ１つの整数 X 」
　という題意から (1-a) の場合のみを考えればいいことがわかります。
　一方、式 (2) からは
　　　　　(2-a) 開区間 0 < X < a と (2-b) 2つの区間 X < 0 と a < X
　ですが、こちらにも (*) から (2-a) の場合を考えればいいことがわかります。
　（ここの議論がわからないときはご通知いただければ詳細に説明します。）

　さて、ステップ２ですが、条件 (1-a) を満たす X は、X = 3, 4 です。 … (#)
　これに (2-a) 0 < X < a を合わせて（*）を満たすようにしなければいけないわけです。
　a = 3 とすると(2-a) と (#) より X は整数解を持たなくなります 。　ですから、まず a > 3。
　次に a > 4 だと再び (2-a) と (#) より X の整数解は１つではなくなります。
したがって a = 4 の場合をいれておくことにより (2-a) により X < 4 となり
　ただ１つの整数解 X = 3 をとるようにできるわけです。

補足

（１－ａ）と（ｂ－a）ついて考えるのはなぜかわかりません。２＜ｘ＜５　と
０＜ｘ＜a　について考えればいいのではないんですか？　ｘ＜２　５＜ｘ　や
ｘ＜０　a＜ｘ　範囲が出てくるのもなぜかわかりません。

回答No.3

yyssaa

この問題が求めている答えはaの範囲であってaが満足すべき整数値ではありません。
従って、a=４であっても両式を満たす整数Xが４になるわけではなく、３＜a≦４で
両式を満たす整数Xが３だけになるので、３＜a≦４が正解であり、a＝４を含まない
３＜a＜４は明らかに間違いです。

補足

なぜ、a＝４にしても整数Ｘが４にならないのかがわかりません。

回答No.2

mister_moonlight

この手の問題は、質問のように、常に両端に等号がつくか、つかないか　が問題になる。
従って、いささか“邪道”になるが、その解決策を示そう。

先ずaの条件を両端に等号をつけて求める。
その上で、その両端の値が本当に適するかどうかをチェックする。

この場合では、先ず　3≦a≦4　として求める。‥‥(1)
a＝4の時　2＜x＜5,0＜x＜4　だから共通範囲は　2＜x＜4　で整数値xは3のみだから条件に適する。
a＝3の時　2＜x＜5,0＜x＜3　だから共通範囲は　2＜x＜3　で整数値xはないから不適。

そこで、(1)に帰って、そっと　等号を消して　答えは　3＜a≦4　としてやる。

まぁ、これは決してほめられた方法ではないが、数直線を使う解法なら、これしかないだろう。
別解として、y＝aとして、（x－2）*（x－５）＜０…(1)、x（x－a）＜０…(2)を座標に書いて求める方法がある。
その方法なら、等号の問題の説明も簡単なんだが。しかし、座標を習ってない高校１年生には駄目な方法。

回答No.1

ferien

ａ＝４にしても、２＜ｘ＜５と０＜ｘ＜４の共通部分の整数解は、ｘ＝３になります。

ａそのものは４にしてもｘの範囲の中には入らないので、＝を付けてもいいと思います。

ａが４をこえてしまっては、ｘの中に４も入ってしまうので、間違いになります。

補足

４に＝をつけても、４は範囲にはいらないのがなぜなのかがわかりません・・・。