方程式の整数解の個数について！

質問

f(x)=4x^4+8x^3-3x^2-7x-2=0
という方程式の整数解の個数なんですが、答えがx=1,-2の2個です。
問題はこの解き方なんですが、
解説には「f(1)=0, f(-2)=0より、」から始まっていました。
つまりこの問題はそれがわからないと解けないという問題なんですか？

f(1)=0はすぐわかりますが、f(-2)=0というのは、まずわかりません(私には)。運よくわかったとしても、結構時間がかかります。
この他の解き方、あるいは、f(-2)=0の素早い見つけ方はないのでしょうか。もしあれば教えてください。

回答No.4

WiredLogic · ベストアンサー

＞解説には「f(1)=0, f(-2)=0より、」から始まっていました。
＞つまりこの問題はそれがわからないと解けないという問題なんですか？

式の形によっては、因数分解の工夫、みたいな手で解けることもありますが、一般的には、そこが解らないと解けない、と思ってください。

ただ、すばやい、とまでは言えませんが、解けるようにできていれば、必ず見つかる見つけ方は、ありますので、順を追って、紹介します。

２次方程式なら、因数分解がダメなら、解の公式で、必ず、お手軽に解けますが、３次以上の方程式は、残念ながら、そうお手軽にはいきません。

５次以上の方程式には、一般的な解の公式は、元々ありませんし、３次・４次方程式には、解の公式はあり、ネット検索でもすれば、見つけられますが、とても、覚えてしまえるようなものではありません。だから、高校の教科書には載せてないのですが…

で、実際に、高校の試験や大学入試で出る３次以上の方程式は、工夫した因数分解か、より一般的には、数IIで学ぶ因数定理を使って、１次の因数を求めていくことで解けるように作ってあります。

因数定理とは、f(x)という多項式があって、f(b/a) = 0 になるなら、f(x) は因数(ax-b)をもつ、つまり、f(x) = (ax-b)(～) のように因数分解できる、というものです。ついでに、(～)の部分は、f(x)を(ax-b)で割り算して求めます。

ここで、f(x)が問題の式で、f(b/a)＝0になったとします。４次式を１次式で割ると、３次式なので、因数分解した形は、a～fをみな整数として、
4x^4+8x^3-3x^2-7x-2 = (ax-b)(cx^3+dx^2+ex+f)のようになる筈で、しかも、ac=4, -bf=-2 でないといけません。

すると、aは4の約数で、1,2,4のどれか、bは2の約数で、1,2のどれかになり、符号を考えても、代入してみる価値のあるのは、
b/a = ±(bの約数)/(aの約数) = ±1, ±2, ±1/2, ±1/4 のどれか、ということになります。少ないとは言えませんが、この問題の式は、４次の係数が4で、代入しなきゃならない数が分数になる可能性もあるので、闇雲に代入してみるのと比べると、かなりマシです。

この中で、代入するのが楽な方、代入したら何となく0になりそうな気がする方から、試していけば、たまには、時間がすごくかかることもありますが、平均的には、割と短い時間で、因数が見つかります。それに、練習を続けていけば、２次方程式の因数分解やたすきがけのときと同様、あ、これかな、という気がして、それが当ることが段々増えてくるので、そんなに心配しなくても大丈夫。

また、#1の方の回答のように、１つ見つかったら、割り算して、因数分解の、(ax-b)(～)の、(～)のところを求めると、１次減って３次式になるので、それに対して、同じことをやっていくようにすれば、４次式のまま考えるより、普通は楽になります。

お礼

回答ありがとうございます！わかりやすくまとめてくださり、大変助かりました。この類題にもう少しあたって感覚を付けていきたいです。
ありがとうございました！

回答No.3

naniwacchi

こんにちわ。

整数解が出てくるということは、因数分解ができていることになりますね。
整数解が 2つあるのなら
f(x)＝ (x- m)* (x- n)* (4x^2+ px+ q)　（pと qは実際には決まった数がはいります。）

という形になっているはずです。
この右辺を逆に展開して、元の式と比較すると定数項について
-2＝ m* n* q

ということがわかります。
つまり、mや nや qは「2を素因数分解したものと負号をつけたもの」になっているはずです。
候補としては、±1, ±2が挙げられます。

実際解くときには、
・定数項の -2に注目して素因数分解した数と負号つけたものを候補として選び、
・xにその値を代入して 0になるかどうかを調べる（因数定理）。

ということになります。

因数分解は経験値がものをいうところなので、問題をこなしてくれば見つけるスピードも速くなると思います。

お礼

定数項に着目するんですね^^よくわかりました！ありがとうございました！

回答No.2

mister_moonlight

＞この他の解き方、

模範解答のように、因数が直ぐ見つけられれば簡単なんだが。
4次関数のグラフを知ってるなら、次の解法は理解できると思うが？

方程式の解は、y＝4x^4+8x^3-3x^2-7x　と　y＝2　との交点がその解を与えるから、y＝4x^4+8x^3-3x^2-7x＝x*(x+1)*(4x＾2＋4x-7)　と　y＝2をグラフに描いてみる。
4x＾2＋4x-7＝0　を解くと、x軸との4つの交点がわかるから　y＝4x^4+8x^3-3x^2-7x　のグラフの概要は描ける。
そこで、y＝2　との交点をグラフから見ると、整数解になるのは(　-1　と　0　は不適当な事はグラフから解るだろう)、1と　-2　前後という事に気がつく。
そこで、その周辺の整数値を　f(x)=4x^4+8x^3-3x^2-7x-2　に代入してみて、f(x)=0となるものを見つけると良い。

お礼

う～、すみません、私の力量ではだめそうです…グラフを利用する方法もあるんですね！教えてくださってありがとうございます！

回答No.1

tomokoich

通常だとやはりx=1,-1,2,-2・・・
と調べていくしかないでしょうね
あとはx=1はすぐ見つけられるなら
f(x)=(x-1)(4x^3+12x^2+9x+2)
ととりあず因数分解しておいて今度は
g(x)=4x^3+12x^2+9x+2
のxにに何をいれればg(x)=0になるか考えるとこの場合ならxがマイナスに限るので
比較的見つけやすいかと思いますが・・
この式でならg(-2)=0は割とすぐわかると思います
このテの問題であまりxが大きい値ということはないと思いますので

お礼

なるほど。代入する値もだいたい相場があるわけですね。よくわかりました！ありがとうございます！