１次方程式の整数解について

質問

訳あって、高校数学を勉強中ですが、悪戦苦闘しております。お助けください。

１次方程式　3x+2y=13 …(1)　を満たす整数x,yの組みを求める問題です。

教科書（東京書籍数学Ip152）には、次のとおり記述されています。

たとえば、x=1,y=5は、(1)を満たすから
3・1+2・5=13 …(2)
(1)から(2)を引くと、3(x-1)=-2(y-5) …(3)
(3)の右辺は2の倍数であるから、左辺も2の倍数である。
ところが、2と3は、1より大きい共通な約数をもたないから、x-1は2の倍数となる。
よって、nを整数として、x-1=2n　（以下省略）

以上の流れで、教科書には、答えとして次のとおり記載されています。

x=2n+1 y=-3n+5　　n（整数）　…(4)

以上の流れは、理解できるのですが、
答えは、上記以外にも存在するように思うのです。

上記では 「たとえば、x=1,y=5は、(1)を満たすから」 という前提で進めていますが、
x=1,y=5 以外にも、x=3,y=2 なども、(1)を満たしますので、
試しに、x=3,y=2 を前提に上記と同様に考えてみました。

そうしたところ、答えは、次のとおりとなりました。

x=2n+3 y=-3n+2 n（整数）　 …(5)

そして、(5)が、(1)を満たすか否かをn=1,n=2,n=3,n=4,n=5を代入して確認してみましたが、
問題なく、(1)を満たすようです。

そうすると、教科書には記載されていない(5)も答えとして正しいのではないか、と思うのですが、
そうであれば、なぜ教科書は、(4)のみを答えとして記載し、
他にも答えが存在することに触れないのか、という疑問が残ります。

教科書が単に不親切なだけでしょうか、
それとも、(5)は答えには成り得ない何らかの理由があるのでしょうか。

回答No.4

Hiromi1976 · ベストアンサー

どちらも正解です。

教科書では、
　(x , y) = (2n + 1 , - 3n + 5) (n は、… , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , …）
と書いています。(x , y) は、
　… , (-1 , 8) , (1 , 5) , (3 , 2) , …
です。

では、（x , y) = (2n + 3 , - 3n + 2）で同様に書き出してみると、
　… , (1 , 5) , (3 , 2) , (5 , -1) , …

です。

同じです。そして、他にも
　(x , y) = (2n + 5 , - 3n - 1)
　(x , y) = (2n + 7 , - 3n - 4)
　(x , y) = (2n + 9 , - 3n - 7)
　(x , y) = (2n + 11 , - 3n - 10)
も、全て正解です。表現方法は無限にあるので、教科書にそれを全部書くことはできません。
それだけのことです。だから、教科書がそれしか書いていないことに意味は何もないし、あなたの解も正解です。
何の問題もありませんよ。

お礼

ありがとうございます！

教科書記載の (x , y) = (2n + 1 , - 3n + 5) のみが答えであり、
他は何かの理由により答えではないのではないか、と不安でしたので、
お聞きすることができ、安心しました。

助かります。

回答No.5

alice_44

不親切と言えば不親切だけれども…
学校教科書では、そのくらいの記載が普通でしょう。
答えの書き方が一通りではないことは、
授業では、板書で補うべき事項です。
そこまで教科書に書いてたら、厚くなってしょうがない。
受験参考書であれば、そのことに触れていないと
ブーだけれど。

お礼

ありがとうございます。

確かに、おっしゃるとおりです。
本書は、検定教科書ですので、
本来は授業中に説明される事項でしょうが、
私は、訳あって独学をしていますので、
このような箇所で、つまずきがちになります。

回答No.3

naniwacchi

おはようございます。

#2さんが書かれているように、(4式)も(5式)も同じことを表していますね。
元の式を直線の方程式と見てあげれば、
その直線上の格子点を考える問題と捉えることもできます。

(x, y)＝(1, 5)や (3, 2)というのは、それらの格子点の「代表」となっているだけです。
格子点の代表を点(a ,b)と表して、3a+ 2b＝13と辺々差し引くと、

3(x- a)+ 2(y- b)＝ 0
i）　(x- a)/2＝(y- b)/(-3)より比の値を kとおくと、(x, y)＝(2k+ a, -3k+b)
ii）　(x- a)/(-2)＝(y- b)/3より比の値を kとおくと、(x, y)＝(-2k+ a, 3k+b)

と、ここだけでも 2とおりの表現が現れます。
さらに、aと bの組合せによって、何とおりもの表現が現れることになります。

表現だけの問題で、表しているのはある直線上の格子点というだけですから内容は同じですね。＾＾

お礼

ありがとうございます！

「表現だけの問題で、表しているのはある直線上の格子点というだけ
ですから内容は同じ」ということがわかり、安心しました。

助かります。

回答No.2

NemurinekoNya

x=2n+1 y=-3n+5　　n（整数）　…(4)
x=2n+3 y=-3n+2　　n（整数) …(5)
は式の見かけは違いますが、同じことを表しています。

x=2n+1 y=-3n+5　　n（整数）　…(4)
で、n = m+1と置けば　m(整数)
x=2(m+1)+1 y=-3(m+1)+5
x=2m+3 y=-3m+2　m(整数)　…(5')

でも、まぁ～教科書で解として(4)を採用しているのは、
x=2n+1の方がx=2n+3より形が美しいからじゃないですか。というのは冗談ですが、
x=2n+1だと、xを2で割った余り(剰余)が1だと分かるからじゃないですかね。剰余系を用いてこの問題を解くと、やはりx=2n+1という答が出ますから。

お礼

ありがとうございます！

解が一つでもないことが明確になり、安心しました。
「n = m+1と置けば　m(整数)」の点、なるほどと思いました。

回答No.1

Tacosan

おそらく
x = 2m+1, y = -3m+5 (m は整数)
という解は書かれていないと思いますが, そのことに疑問は持ちませんでしたか?