２次方程式

質問

２次方程式

aは正の定数とする。
ｘ^2-2ｘ＞0
ｘ^2-3ａｘ＋2ａ^2＜0
を同時に満たす整数ｘが存在しないようなａの値の範囲を求めよ。

この問題の答えについてお聞きしたいのですが、与えられた式を解くと
ｘ＜0、2＜ｘ
ａ＜ｘ＜2ａ
となり、2ａ≦3となり、答えは0＜ａ≦3/2なるらしいです。

この「2ａ≦3となり、答えは0＜ａ≦3/2なる」の部分がわかりません。
2ａ＜3ならわかりますが、2ａ≦3となると3が含まれるので違うと思うのですが、どうなのでしょうか？

回答No.1

Kules · ベストアンサー

ちょっと雰囲気的な説明しかできませんが、
ｘ＜0、2＜ｘ
は
「xは0より小さいか、2より大きい。0も2もダメ」

ａ＜ｘ＜2ａ
は
「xはaから2aの間。aも2aもダメ」
となります。
で、
ａ＜ｘ＜2ａ
ということは
ａ＜2ａ
ということなのでa>0はいいと思います。
で、実際数直線を描いてやるとわかりますが、
上の式のx<0と下の式のａ＜ｘ＜2ａがそれぞれ示す範囲が重なることはないので、
ようはａ＜ｘ＜2ａとx>2が重ならなければいいということになります。
で、x>2というのは「2はだめ」なので、x<2aは「2を含んでてもOK」ということになります。
と同時に、x<2aが3を含んでたらダメだということになります。じゃあx<2aは2aを含んでないので、2a=3となってもいいよね。という話になります。

参考になれば幸いです。

お礼

早速の回答ありがとうございます．解決しました！

回答No.3

adasnt

問題にされているのは "x" の値です．

a<x<2a を満たすxが整数3を含まなければ良いのです．
xは2aを含みませんから，2aが3以下であれば，xは必ず3未満になります．

したがって，
x<2a≦3
で良いのです．

お礼

ありがとうございます．解決できました＾－＾

回答No.2

naniwacchi

こんばんわ。

この手の問題は、まさに質問されているところが最後のヤマですね。
過去にも同様の質問もあったと思います。

具体的に、2a＝ 3のときを考えてみるとわかると思います。
このとき、a＜ x＜ 2aは「3/2＜ x＜ 3」と表されます。
つまり、この不等式の解には 3が含まれていません。

・「解」としての不等式と
・その「境界」に対する不等式
これらは確かに混同しやすいです。

こういうときは、一度
「不等式 a＜ x＜ 2aにおいて 2aがどういう値になればいいか？」

と、この不等式だけを見つめて考えた方がいいと思います。
そうすれば、2a＝ 3となっても構わないことが理解できると思います。

お礼

確かにxとaは別ですよね．ありがとうございます！