不定方程式の一般解の整数倍

質問

自分は、不定方程式の解き方のどこが間違っているか教えてほしく、質問します。
5x-3y=8・・・(1)を満たす整数解x,yを整数Kを用いて表す、という問題ですが、まず解き方1として、5a-3b=1を満たす特殊解をもとめると、a=2,b=3が見つかります。ここで5a-3b=1をみたす一般解は、Lを整数として、a=3L+2,b=5L+3。自分はここで、5(3L+2)-3(5L+3)=1より
5*8*(3L+2)-3*8*(5L+3)=8として、(1)と比較してx=8*(3L+2)=24L+16,
y=8*(5L+3)=40L+24と答えをだしました。
解き方2は、解き方1の特殊解を求めるまでは一緒で、特殊解を
5*2*8-3*3*8=8のように8倍して、これらを(1)から引いて、x=3K+16,y=5K+24と答えをだしました。　
解答では解き方2の答えを正解としているし、解き方1のx=24L+16を解き方2のx=3K+16のように、3*整数+16のようには直せない(3*8の倍数がでてくる)ので、解き方1は間違っていると考えました。どなたか、解き方1の間違いを教えてください。お願いします。

回答No.1

f272 · ベストアンサー

5(3L+2)-3(5L+3)=1は正しい。
5*8*(3L+2)-3*8*(5L+3)=8も正しい。
でもこれと5x-3y=8を比較して，x=8*(3L+2)=24L+16, y=8*(5L+3)=40L+24となるのか？もちろんx=8*(3L+2)=24L+16, y=8*(5L+3)=40L+24とであれば5x-3y=8となるのは正しいが，逆は一般的には成立しません。だから一般解ではないのです。

お礼

お返事ありがとうございます。考えなおしてみます。