二次関数と方程式・不等式の問題で困ってます

質問

二次関数と方程式・不等式の問題です。
x^2-2ax+a^2+1≦y≦-x^2+2x-a+2を満たす実数の組（ｘ、ｙ）が存在するとき
(1)aの範囲を求めよ
(2)xが整数でｙ＝２となる(x,y)が存在するとき、aの値の範囲を求めよ

(1)はできましたが、(2)がわかりません
答えは-1≦a≦1となるらしいのですが、どうしてもa≦1しか出ません・・・
どなたか(2)の解説をお願いします・・・
できるだけ早急に回答いただけるとうれしいですm(__)m

回答No.2

mister_moonlight

どうせ座標を使うなら、最後まで座標を使おう。

ｙ＝2だから、x^2-2ax+a^2+1≦2≦-x^2+2x-a+2。
x^2-2ax+a^2+1≦2より、-1≦x－a≦1　‥‥(1)、2≦-x^2+2x-a+2より、a≦-x^2+2x　‥‥(2).
β＝aとして、(1)と(2)をxβ平面上に（xは通常のx軸に、βを通常のy軸にとる）図示すると、放物線：β＝-x^2+2x　と直線：β＝x-1とで囲まれた部分（境界線も含む）。

ところが、β＝x-1とβ＝-x^2+2x　とを連立してβの値の範囲を定めると、-（1＋√5）/2≦β≦1.
xが整数ならｙも対応して整数であるから、（√5は2.36が近似値より）、-1.68≦β≦1　→　-1≦β≦1　→　-1≦a≦1。

回答No.1

Mr_Holland

ａ≦１　は求められているとして話を進めます。

　問題の２次不等式を求めると、ｘについて次の範囲が出てくると思います。

　（Ａ）ａ－１≦ｘ≦ａ＋１
　（Ｂ）１－√(１－ａ)≦ｘ≦１＋√(１－ａ)

　ここで、上の解ｘの範囲について見ておきますと、次のような事が言えます。
　（Ａ）　ｘ＝ａを中心とした幅２の範囲
　（Ｂ）　ｘ＝１を中心とした対称な範囲

　これらのことを踏まえて、上の２つの不等式の範囲が重なり、整数解ｘを得る条件を考えますと、次のようにになります。

　（I）　（Ａ）の上限（＝ａ＋１）は（Ｂ）の下限（＝１－√(１－ａ)）に１を加えたもの以上である。　　または、
　　　　（１を加えるのは、間に整数解が入ることを保証するため。）
　（II）　（Ａ）の上限がある整数値以上であり、（Ｂ）の下限がその整数値以下である。

　この２つの条件を式で表すと次のようになります。

　（I）　１－√(１－ａ) ＋１　≦　ａ＋１
　　　　∴　０≦ａ≦１
　（II）　１－√(１－ａ) ≦ ｎ ≦　ａ＋１　（ただし、ｎは整数）
　　　　この不等式から、この不等式を満たすｎは　ｎ＝０、１　しかなく、このときａの範囲はそれぞれ次のようになります。
　　　　∴　－１≦ａ≦０、　０≦ａ≦１

　上の２つの条件（I）（II）をまとめると、次のようになります。
　　　　∴　－１≦ａ≦１