数学補習の問題がわかりません！

質問

a,bは定数として、xについての二つの二次方程式
x^2-2ax+a^2+2b^2＝0と
x^2+a^2x-2a+2b^2＝0が
共通な正の実数解を持つとき、
a,bの値およびその共通解を求めよ。

という問題です。
数学が苦手なので
詳しく書いてくださったら助かります(´・_・`)
お願いします！

回答No.5

info22_ · ベストアンサー

x^2-2ax+a^2+2b^2＝0　...(1)
x^2+a^2x-2a+2b^2＝0 ...(2)
(1)より
(x-a)^2+2b^2=0
x,a,b実数より
　x=a,b=0
(2)に代入
　a^2+a^3-2a=0
　a(a+2)(a-1)=0 ∴a=0, 1, -2
a=0のとき　x=0, b=0
(1)にa=0, b=0を代入
　x^2=0 ∴x=0(重解)
(2)にa= 0, b=0を代入
　x^2=0 ∴x=0(重解)
　共通解はx=0（重解）
正の実数解を持たないので不適。
a=1のとき　b=0を(1)に代入
(x-1)^2=0 ∴x=1(重解)
b=0を(2)に代入
(x+2)(x-1)=0 ∴x=1,-2
共通解はx=1
共通な正の実数解を持つので「a=1,b=0」は条件を満たす。
a=-2のとき　b=0を(1)に代入
(x+2)^2=0 ∴x=-2(重解)
b=0を(2)に代入
(x+2)^2=0 ∴x=-2
共通解はx=-2(重解)
共通な正の実数解を持たないので不適。

以上をまとめると
　a=1,b=0,共通解はx=1 ...(答え)

お礼

くわしく書いてくださってありがとうございます (>_<)
ほんとうに助かりました！
ありがとうございました (*^^*)

回答No.6

shuu_01

No.1,3、4 です

｜ただし、２番目の x が正の解を持つためには、
｜　　　　ーa ＞ 0
｜　　　　a ＜　0

ここん所で、間違えてました

ごめんなさい

お礼

何回も解いてくださりありがとうございます！
問題文わかりにくくてすみませんでした (*_*)
でも、助かりました。
ほんとうにありがとうございました (*^^*)

回答No.4

shuu_01

No.2 さん、コメントどうも

僕は行列、苦手でさけており、終結式も初めて聞いた言葉で知りません

ただ、どっか問題文、ミスタイプありそうです

それと、a^2x は　(a^2) x　ですよね

a^（2x）でも、「 終結式」使える？

正しく、誤解されないような問題文を教えてください ＞ 質問者さん

補足

(a^2)xです！すみません (>_<)

回答No.3

shuu_01

No.1 です
２番目の式を見間違えていましたので、訂正します
でも、それでもやっぱし答えでませんでした：

（１）x^2-2ax+a^2+2b^2＝0

（x-a）^2 ＝ -2b^2

-2b^2 ≧ 0 の時、実数解を持つので b ＝ 0
a ＞ 0 の時、解は正となります

（２）x^2+a^2x-2a+2b^2＝0が

　a^2x の解釈が難しいです
　１）　(a^2) x と考えると：
　　　（x ＋ a）^2 ＝ （1/4）a^4 ＋ 2a -2b^2
　　　　a^2 ＋ 2a -2b^2 ≧ 0 の時、実数解を持ちます
　　　　１番目の式から b ＝ 0 ですので、a^2 ＋ 2a ≧ 0
　　　　a（a＋２） ≧ 0
　　　　a≦－2、a≧0
　　　　１番目の式から a＞ 0 ですので、a ＞ 0
　　　　ただし、２番目の x が正の解を持つためには、
　　　　ーa ＞ 0
　　　　a ＜　0
　　　　でなくてはならず、そのような a は存在しません

　２）　a^（2 x） と考えると：
　　　　x^2+a^（2x） ＝ 2a ー 2b^2
　　　　１番目の式から b ＝ 0 ですので、
　　　　x^2+a^（2x） ＝ 2a

　　　　この計算、難しいので省略しますが、
　　　　a ＞ 1 の時、x は正と負の解を持ちますが、
　　　　x ＝ a ではないので、共通の解はありません

【答え】　そのような a、b は存在しません

* ごめんなさい。またどっか計算が違っちゃったようです

回答No.2

Tacosan

それをいうなら「判別式」ではなく「終結式」では＞#1.

もっとも, この問題に関して言えば「共通解があるならそれはこんな形」と書けてしまうわけだが.

回答No.1

shuu_01

おそらく、判別式を使うのが一般的と思います：

｜　実数解・虚数解の判別. ax2＋bx＋c＝0 が解をもつかどうかの
｜　判定ができる。 D＝b 2－4acとおいて、解を判別する。
｜　（bが偶数のときは D/4）. ・D＞0 のとき、2つの実数解
｜　 ・D＝0 のとき、1つの実数解（重解） ・D＜0 のとき、2つの虚数解

ただ、僕は判別式も解の公式も覚えていません
うろ覚えでやっても間違えるので、(x - ○）^2 ＝ □ の形に
持って行って考えます

x^2-2ax+a^2+2b^2＝0

（x-a）^2 ＝ -2b^2

-2b^2 ≧ 0 の時、実数解を持つので b ＝ 0
a ＞ 0 の時、解は正となります

x^2+a^2x-2a+2b^2＝0が

（x ＋ a）^2 ＝ a^2 ＋ 2a -2b^2

a^2 ＋ 2a -2b^2 ≧ 0 の時、実数解を持ちます

１番目の式から b ＝ 0 ですので、a^2 ＋ 2a ≧ 0
a（a＋２） ≧ 0
a≦－2、a≧0
１番目の式から a＞ 0 ですので、a ＞ 0

ただし、２番目の x が正の解を持つためには、
ーa ＞ 0
a ＜　0
でなくてはならず、そのような a は存在しません

【答え】　そのような a、b は存在しません

* ごめんなさい。どっか計算が違っちゃったようです