超幾何関数の初等関数表示について

質問

F( , ; ; )はガウスの超幾何関数をあらわすものとして
(1/2+√(1 - x))^(1-2a)=F(a, a - 1/2; 2a; x)
がテーラー、ローラン展開など用いても証明できませんでした
論文などでよく見かけるのですが証明できないと理解した気になれません
ヒントだけでもいいのでご教授ください

回答No.4

grothendieck · ベストアンサー

y=F(a,a+1/2;2a;z)が満たす微分方程式は

　z(1-z)y'' + (2a-(2a+3/2)z)y' - a(a+1/2)y = 0

になります。

　y = 2^(2a-1)*(1-z)^(-1/2)*(1+√(1-z))^(1-2a)

が上の微分方程式を満たすことを示し、解の一意性から
F(a,a+1/2;2a;z)=2^(2a-1)*(1-z)^(-1/2)*(1+√(1-z))^(1-2a)
と結論するのが簡単なのではないでしょうか。数式処理で
(1-z)^(-1/2)*(1+√(1-z))^(1-2a)
が上の微分方程式を満たすことは確認しました。

お礼

なるほど！おもしろい回答ありがとうございました

回答No.3

grothendieck

g(z)=(1-z)^(-1/2)
h(z)=(1+√(1-z))^(1-2a)
f(z)=g(z)*h(z)

として積の微分の公式

d^n f(z)/dz^n = ΣnCk( d^n g(z)/dz^n )( d^(n-k) h(z)/dz^(n-k) )

を用いテイラー展開すれば良いのではないでしょうか。

回答No.2

grothendieck

Abramowitz and Stegun"Handbook of Mathematical Functions"を調べたところ、ご質問のような公式は載っていませんでした。また x=0 を代入すると
　左辺=(3/2)^(1-2a)
　右辺=F(a, a - 1/2; 2a; 0) = 1
となって一致しません。どこか間違っていないでしょうか。よく似た公式として、上記の本には

　F(a,a+1/2;2a;z)=2^(2a-1)*(1-z)^(-1/2)*(1+√(1-z))^(1-2a)

が載っています。右辺のテイラー展開を3次まで数式処理ソフトで計算してみると
1+(2*a+1)*z/4+(2*a^2+5*a+3)*z^2/16+(4*a^3+24*a^2+47*a+30)z^3/192
左辺のガウス級数は
　F(a,a+1/2;2a;z)=1+(2a+1)z/4+(a+1)(2a+3)z^2/16+(a+2)(2a+3)(2a+5)z^3/192
でこれは一致しています。

補足

すいません、質問する立場にありながら普通に間違えていました
証明したいのはまさに
F(a,a+1/2;2a;z)=2^(2a-1)*(1-z)^(-1/2)*(1+√(1-z))^(1-2a)
です。

回答No.1

stomachman

F(α, β, γ; x) = Σf(α, β, γ; k)(x^k)　　　　（Σはk=0～∞）
という格好に書いたときの右辺が収束すれば、超幾何関数が多項式展開できたことになる。ご承知の通り、実際これは可能で、右辺は超幾何級数です。で、ご質問の式とご主張がもし正しいなら、ご質問にある式の左辺の多項式展開が一意的でない、ということになっちゃう。そりゃ明らかに変ですね。だから、きっと何か間違えたんでしょう。