√3-√2の共役な数は?

質問

√3-√2の共役な数は?
-√2+√3と考えることもできますが…。
　A.√3+√2のみ
　B.-√2-√3のみ
　C.AとBどちらも共役な数
　D.AもBも他にもある
　E.定義できない。
もしAやBが正しいとしたら、他方が不適な理由は何ですか?(判定方法は?)

xの共役な数を求める関数をf(x)としたら
f(f(x))=xが成り立たないこともあるのですか?

回答No.3

alice_44 · ベストアンサー

共役を定義するためには、係数を指定しなくては。
数と数が K-共役であるとは、
両者の K上最小消去多項式が共通であること
を言います。

日常「共役複素数」と呼んでいるものは、
実-共役な複素数のことです。

質問にある √2+√3 の「共役」も、
Q(√2)-共役であれば、√2±√3 だし、
Q(√3)-共役であれば、±√2+√3 だし、
Q-共役であれば、±√2±√3 となります。
R-共役なら、√2+√3 自身だけです。

共役の相手は、1 個とは限りませんから、
共役な数を求める関数という考えは
一般には成り立ちません。

補足

回答ありがとうございます。
高校の教科書や参考書では係数を指定しているのを見たことがないのですが
なぜでしょうか?

また↓では、共役な無理数(と呼ぶようですが)はバーを使って表していますが
http://books.google.co.jp/books?id=ZLaFLcUABGsC&pg=PA166&lpg=PA166&dq=%E5%85%B1%E5%BD%B9%E3%81%AA%E7%84%A1%E7%90%86%E6%95%B0&source=bl&ots=In0GtZT-iV&sig=yA47XIsxFPS5FJ1_2leGYVTL4UE&hl=ja&ei=ZCWaTOHDOY6SuwOlhdWWDQ&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=1&ved=0CCUQ6AEwADgK#v=onepage&q=%E5%85%B1%E5%BD%B9%E3%81%AA%E7%84%A1%E7%90%86%E6%95%B0&f=false
バーでは表せるのに、関数で表せないのはおかしくないですか?

回答No.7

alice_44

No.4 です。

当初の質問への回答は、No.3 に書いた通り、
「問題不備で解答不能」です。

共役性を定義するためには、最小多項式の
係数の範囲を指定する必要があり、
「共役な数」だけでは、題意が定まりません。

係数の範囲を指定した場合の答えのいくつかを
No.3 に例示しておきました。

参照先の「共役な無理数」は、前にも書いたように、
「有理数上共役な実数」のことを指していると
思われます。

有理数体とか拡大体とか最小多項式とかを
いろいろ説明せずに済ますために
あのような書き方をしたのでしょうが、
雰囲気に頼る説明で、たいへん不正確です。

お礼

何度もありがとうございました。
高校時代の教科書が残っていない今では確かなことは言えませんが
学校から与えられたものだけで勉強していた私が
「共役な数」という言葉を覚えていたのは
何らかの形で学校から教えられたのだと思いますが
当時からあった漠然と感じていた不正確さを
今になって確信することができました。

回答No.6

178-tall

引用ページを見ると、二次無理数の「共役」ですね。
でも、√3 - √2 はこの二次無理数じゃないみたいです。

二次無理数の場合の「整係数」制限を外し、「実係数」とすると、√3 - √2 が零点対の二次方程式は、少なくとも二通りある。
　{√3 - √2, √3 + √2}
　{√3 - √2, -√3 + √2}

これなら、f(f(x))=x 。
でも、無理やり「拡張」の観が強い。

補足

回答ありがとうございます。

2+√3などの“共役な数”は定義できるものの
√3-√2などの“共役な数”は定義できない
ということでしょうか?

今は教科書が残っていないので何とも言えないですが
2+√3等については“共役な数”を定義しておいて
あとは応用させるようなものだったのかもしれないですね。

回答No.5

info22_

#1です。

「共役な数」が「共役複素数」ではなく
「共役無理数」であるならその定義をはっきりさせないと判定もできません。

定義が調べられるか、分かるならお書き下さい。定義が分かれば判定方法が確定します。

他の回答者に詳しい方も見えるようです。定義に基づいた質問の書き方にすれば答えも
確定するようですね。

なお、A#1は「共役複素数」と見做した場合の回答ですので無視してください。

補足

回答ありがとうございます。

No.4の補足に書きましたように、
私が高校生だった頃は「共役な数」という表記が教科書にあったのか先生が言ったのか
最近の参考書等を見てもその表記は見られておらず定義はよくわかりません。
No.1の補足に書いたサイトと同じように「2+√3に対し2-√3」程度の記述で
定義はきちんとしてなかったような気がします(だからこそ曖昧さを感じ取ったのだと思います)。

今となっては他の方から回答をいただき
一般的でない表記だったことがわかり
そんなことで悩まされたために、
分母の有理化の修得が他の生徒より数日遅れたことを悔しく思います。

回答No.4

alice_44

リンク先を拝見しました。
「共役な無理数」という言い方は、そのテキストに独特です。
普通の数学用語では、「有理数体上共役な実数」などと言います。

話を有理数体上共役な実数に絞っても、まだ、
共役の相手がひとつに決まるとは限りません。例えば、
2+(5の4乗根) に対して、有理数体上共役な実数はふたつあります。

リンク先では、有理数体の二次拡大の元で、有理数体上共役なもの
のことを「共役な無理数」と呼んでいるようです。
その場合に限っては、共役の相手はひとつに決まりますから、
関数で書いても、バーを使って書いてもよいでしょう。
それは、「共役」の一般論ではありませんが。

補足

回答ありがとうございます。

語学春秋社「実況中継シリーズ大学入試センター試験数学IA」(1996年)
のp9～10には7+√5の「共役な数」として7-√5が載っています。
現存していませんが教科書にも載っていた記憶があるので
昭和末期～平成初期頃の受験数学用語かと思います。

「有理数体」など私には理解不能な用語が多々あるのですが
当初の質問の答えはどうなるのでしょうか?

回答No.2

f272

共役な数ってどういう意味で使ってる？
「αの共役数とは，代数的数αの最小多項式の根である」という意味なら
√3+√2
√3-√2
-√3+√2
-√3-√2
の4つだね。

補足

回答ありがとうございます。

＞共役な数ってどういう意味で使ってる？
定義はわかりません。
「1/(2-√2)の分母を有理化する際には、分母と分子に2-√2の共役な数2+√2をかける」
等と教科書や参考書に載っていたと思いますが、その数のことです。
高校時代にはとりあえず“間にある符号をひっくり返したもの”という理解でしたが
その厳密的でない表現方法が当時から嫌で仕方ないまま今に至っています。

「共役な無理数」とも呼ばれているようですが…。
http://books.google.co.jp/books?id=ZLaFLcUABGsC&pg=PA166&lpg=PA166&dq=%E5%85%B1%E5%BD%B9%E3%81%AA%E7%84%A1%E7%90%86%E6%95%B0&source=bl&ots=In0GtZT-iV&sig=yA47XIsxFPS5FJ1_2leGYVTL4UE&hl=ja&ei=ZCWaTOHDOY6SuwOlhdWWDQ&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=1&ved=0CCUQ6AEwADgK#v=onepage&q=%E5%85%B1%E5%BD%B9%E3%81%AA%E7%84%A1%E7%90%86%E6%95%B0&f=false

回答No.1

info22_

>√3-√2の共役な数は?
あなたの言っているのは正式には「共役複素数」と言います。

詳しくは参考URLの複素共役（共役複素数）の箇所を参照下さい。

a,bを実数、iを虚数単位とすれば

「a+bi」の共役複素数は「a-bi」です。

虚数部があれば虚数部の符号だけが変わります。

以上から以下のことが言えます。

実数の共役複素数はその実数そのものです。
「a」の共役複素数は「a」です。
したがって「√3-√2」は実数ですから
「√3-√2」の共役複素数は「√3-√2」です。

なのでA～Eは全て間違いだと思います。

純虚数「bi」の共役複素数はその数に「-1」をかけた「-bi」です。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/共役複素数

補足

回答ありがとうございます。
私の言っているものは「共役複素数」ではなく「共役無理数」と呼ばれているようです。
http://books.google.co.jp/books?id=ZLaFLcUABGsC&pg=PA166&lpg=PA166&dq=%E5%85%B1%E5%BD%B9%E3%81%AA%E7%84%A1%E7%90%86%E6%95%B0&source=bl&ots=In0GtZT-iV&sig=yA47XIsxFPS5FJ1_2leGYVTL4UE&hl=ja&ei=ZCWaTOHDOY6SuwOlhdWWDQ&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=1&ved=0CCUQ6AEwADgK#v=onepage&q=%E5%85%B1%E5%BD%B9%E3%81%AA%E7%84%A1%E7%90%86%E6%95%B0&f=false