複素正方行列の対数

質問

複素正方行列の指数関数は、実数域でのマクローリン展開を単純に拡張して

xが実数のとき、
　　exp(x) = 1 + x + x^2/2 + x^3/6 + x^4/24 + ...

より、Aが複素正方行列のとき （Eは単位行列）
　　exp(A) = E + A + A^2/2 + A^3/6 + A^4/24 + ...

と、できることがわかりました。
一方、対数関数に関しても同様に、

xが実数のとき、
　　log(1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 - x^4/4 + x^5/5 - x^6/6 + ...

より、Aが複素正方行列のとき （Eは単位行列）
　　log(E+A) = E - A^2/2 + A^3/3 - A^4/4 + A^5/5 - A^6/6 + ...

で、単純に可能かと思ったのですが違いました。

例えば、具体的に、実数正方行列
　{ 2, 3 }
　{ 4, 5 }
の対数は、
　{ -0.304+2.195i, 1.302-1.248i }
　{ 1.736-1.664i, 0.997+0.947i }

となりますが、前記のように単純にマクローリン展開を拡張した方法では、
実数係数の行列から複素係数が出てくることはありえないことからも、
簡単に間違っていることがわかります。

ということで、複素正方行列のマクローリン展開の方法または、
具体的な計算方法（アルゴリズム）をご存知の方がおられましたら
ご教示ください。

回答No.1

Tacosan

収束域は気にする必要があるんじゃないかな.
x が実数のときだって, x=2 を代入したら破綻するよね.