【数I】この問題の解き方は……？

質問

一緒に考えていただけないでしょうか。

「円に内接する四角形ABCDにおいて、AB＝BC＝３、AD＝８、∠BAD＝60度である。
三角形ABDの内接円の中心をI、三角形BCDの内接円の中心をJとし、線分IJと辺BDの交点をEとする。
線分の長さの比IE：JEを求めよ。」

ちなみに多分、私の計算だとCD＝５、BD＝７です。
「たぶんこうじゃないかな？」という感じでも、確かじゃなくてもなんでもいいので知恵をお貸しください；；

回答No.5

nag0720 · ベストアンサー

＃４さんとほぼ同じ考え方ですが、
∠ADB＝∠CDBであることから、
IE：JE＝GD：HD　（G,HはI,JからBDに垂線を下ろした交点）
が成り立ちます。

GD＝(BD+DA-AB)/2＝6
HD＝(CD+DB-BC)/2＝9/2
より、
IE：JE＝6：9/2＝4：3
となります。

お礼

お礼非常に遅れてしまいました！　ありがとうございました。

補足

回答ありがとうございます！すっごく馬鹿な質問かもしれないのですが、「∠ADB＝∠CDB」というのはどうやって判断したのか教えていただけませんか？

回答No.6

nag0720

＞「∠ADB＝∠CDB」というのはどうやって判断したのか教えていただけませんか？

辺AD上にAP=3となる点Pをとれば、△BPDと△BCDは合同になります（３辺が同じ）。

お礼

何度も本当にありがとうございました。助かりました。

回答No.4

ferien

「円に内接する四角形ABCDにおいて、AB＝BC＝３、AD＝８、∠BAD＝60度である。
三角形ABDの内接円の中心をI、三角形BCDの内接円の中心をJとし、線分IJと辺BDの交点をEとする。
線分の長さの比IE：JEを求めよ。」

偶々ですけれども　条件に合うような図が描けたので考えることができました。

こちらで描いた図を使って説明を書いていくので、もしも違ってたらごめんなさい。

（１）
三角形ABDの内接円の中心をI、三角形BCDの内接円の中心をJとしなので、

このＩからＢＤに垂線をおろして交点をＧ、ＪからＢＤに垂線をおろして交点をＨとします。
ＩＧは三角形ABDの内接円の半径、ＪＨは三角形BCDの内接円の半径になります。
ＩＧ＝ｒ１、ＪＨ＝ｒ２とします。

（２）△ＩＧＥと△ＪＨＥは、相似になります。

両方とも９０度の角があり、対頂角が等しいので、２つの角が等しいことになるからです。

ＩＥ：ＪＥ＝ＩＧ；ＪＨ＝ｒ１：ｒ２　が成り立ちます。

だから、IE：JEを求めるためには、内接円の半径を求めればいいことになります。

（３）内接円の半径を求めます。

△ＡＢＤについて、３辺が分かっているので　ヘロンの公式を使って面積を求めます。

３辺をａ，ｂ，ｃとすると、ａ＋ｂ＋ｃ＝２ｓを計算しますが、後で使うので、
ｓの値も求めておきます。

次に、公式　面積Ｓ＝ｒｓ　（ｒは内接円の半径）を使って、内接円の半径を求めます。　

△ＢＣＤについても同じようにして、内接円の半径を求めます。

（４）ＩＥ：ＪＥ＝ｒ１：ｒ２　から比を求めます。

線分の長さの比IE：JE＝４：３　だと思います。　他にもいろいろ考えてみて下さい。

何かあったら、質問お願いします。

お礼

非常に助かりました。ありがとうございました！

補足

なるほど！ありがとうございます。
２√３／３：√３／２で、４：３ですね！
私のかいた図的にも良さそうな解法の気がします。

手元にはっきりとした解答が無くてごめんなさい；；

回答No.3

noname#152422

比IE：JEは確定しないようです。

Cの位置として、線分BDに近い場所に配置することもできるし、BDに関してAとCとを対称の位置にすることもできます。前者の場合はJEに対してIEをいくらでも大きくできるし、後者ならば1:1です。

お礼

解決しました。ありがとうございました！

回答No.2

ferien

>>ちなみに多分、私の計算だとCD＝５、BD＝７です。

の意味が分かりました。できるどうか分かりませんが考えてみます。

度々済みません。

お礼

お礼非常に遅くなりました。ありがとうございました。

回答No.1

ferien

>ちなみに多分、私の計算だとCD＝５、BD＝７です。
>「たぶんこうじゃないかな？」という感じでも、確かじゃなくてもなんでもいいので知恵をお貸しくだ>さい；；

考えてみたいんですけれど、図がないので、何でCD＝５、BD＝７になるのかも
分かりません。

図を付けてもらうことはできますか？