四角形

質問

四角形ＡＢＣＤがある。ＢＣ＝９、ＢＤ＝２１、ＤＡ＝１０、∠ＢＡＤ＝∠ＢＣＤ，∠ＣＢＤ＝２∠ＡＢＤ　のときＡＢの長さを求めよ。　この問題の答えと解き方を教えてください。

回答No.3

info22_

∠CBDの2等分線と線分CDの交点をE,AB=x(>0),BE=y(>0),CE=a(>0)とすると
△ABD∽△CBEなので
x/9=10/a=21/y …(1)
角の二等分線定理より
a/b=9/21 …(2)
∠BAV=∠CAD=θ、余弦定理より
cosθ=(x^2+10^2-21^2)/(20x)=(9^2+(a+b)^2-21^2)/(18(a+b))
簡単にして
9(a+b)(x^2-341)=10x((a+b)^2-260)…(3)
(1),(2),(3)をx>0,y>0,a>0,b>0なる条件で解けば

∴x=17,y=189/17,a=90/17,b=210/17
∴AB=x=17

（参考URL）角の二等分線定理
http://yosshy.sansu.org/theorem/kaku2tobun.htm

参考URL：

http://yosshy.sansu.org/theorem/kaku2tobun.htm

回答No.2

nag0720

∠CBDの二等分線と辺CDとの交点をEとすると、
二等分線の性質より、
CE：ED＝BC：BD
また、△ABD∽△EBC　なので、
AB：EB＝BD：BC＝DA：CE

あとは、余弦定理を使っていいのなら、
CE^2=BC^2+BE^2-2*BC*BE*cos(∠CBE)
ED^2=BE^2+BD^2-2*BE*BD*cos(∠EBD)

cos(∠CBE)=cos(∠EBD)なので、全部で５つの未知数からなる５つの式ができます。

余弦定理を使えない場合は、
点Bから辺CDに下ろした垂線の足をFとして、
BF^2+FC^2=BC^2
BF^2+FE^2=BE^2
BF^2+FD^2=BD^2
とすれば、全部で６つの未知数からなる６つの式ができます。

回答No.1

Mr_Holland

例えば、次のように考えてはいかがでしょうか？

１）点Cを直線BDについて対称移動した点を点C'としますと、4点A,C',B,Dは同一円周上に乗ります。

２）与えられた条件と円周角の定理から　AC'の長さが求められます。

３）四角形AC'BDは円に内接することと余弦定理から　cos∠AC'B（またはcos∠ADB)を求めます。

４）再度、余弦定理を使って　ABの長さを求めます。
　（答えは整数になるようです。）

　他にもっとスマートな解法があるかもしれません。
　よろしければ参考にしてください。