群数列です

質問

１から順に自然数を並べて次のように群にわける。

1/2,3/4,5,6,7/8,9,…/……

ただし第ｎ群が含む数の個数は2のn-1乗個である。

第ｎ群に含まれる数の総和が10000を超えない最大のｎを求めよ。

という問題なんですが、わかる方解答お願いします。

回答No.4

ferien

下の続きです。

（３／２）２＾2(n-1)－（１／２）２＾n-1＜１００００　から

式変形して、

２＾n-1（３・２＾n-1－１）＜２・１００００＝２＾5・５＾4　とおきます。

仮に、２＾n-1≦２＾5　と考えて

３・２＾n-1－１＜５＾4　を考えてみます。（おおよその見当を付けるためです。）

３・２＾n-1＜５＾4＋１＝６２６　
２＾n-1＜２０８．……　　　　２＾７＝１２８、２＾8＝２５６　なので　ｎ－１＝７　ｎ＝８

ｎ＝８を元の式に代入してみると、

２＾７（３・２＾7－１）＝１２８・（３・１２８－１）＝４９０２４＞２００００　で　ダメ。

ｎ＝７とすると、
２＾6（３・２＾6－１）＝６４・（３・６４－１）＝６４・１９１＝１２２２４＜２００００

よって、ｎ＝７

あまりいい方法でもないですが……。

回答No.3

ferien

訂正です。式変形ミスしてました。

これらの和は、
２＾n-1・２＾n-1＋（１＋２＋……＋（２＾n-1－１））

＝２＾2(n-1)＋（１／２）（２＾n-1－１）（１＋（２＾n-1－１））
＝２＾2(n-1)＋（１／２）２＾n-1（２＾n-1－１）
＝２＾2(n-1)＋（１／２）２＾2(n-1)－（１／２）２＾n-1
＝（３／２）２＾2(n-1)－（１／２）２＾n-1

（３／２）２＾2(n-1)－（１／２）２＾n-1＜１００００　ということでした。

答えもｎ＝１１ではありません。申し訳ありませんでした。

もう少し考えてみます。

回答No.2

ferien

>第ｎ群が含む数の個数は2のn-1乗個

第ｎ群は、２＾n-1、２＾n-1＋１、２＾n-1＋２、……、２＾n-1＋（２＾n-1－１）

これらの和は、
２＾n-1・２＾n-1＋（１＋２＋……＋（２＾n-1－１））

＝２＾2(n-1)＋（１／２）（２＾n-1－１）（１＋（２＾n-1－１））
＝２＾2(n-1)＋（１／２）２＾n-1（２＾n-1－１）
＝２＾2(n-1)＋（１／２）２＾2(n-1)－（１／２）２＾n-1
＝４・２＾n-1＋２・２＾n-1－（１／２）２＾n-1
＝（１１／２）２＾n-1　より

（１１／２）２＾n-1＜１００００　　２＾n-1＜１００００×（２／１１）＝１８１８．１…

２＾10＝１０２４　より　ｎ－１＝１０　よって　ｎ＝１１

回答No.1

hrsmmhr

最初からn群までの和から
最初からn-1群までの和を引いたものが
第n群の和だから
それが10000越えない群を出せば良いです