群数列で分からない問題があります。

質問

群数列で分からない問題があります。

自然数を次のような群に分ける
{1}{2,3}{4,5,6,7}{8,9,10,11,12,13,15}
第n群の最初の数を求めよ。

解答では
第n群は2^n-1個の数を含むから、第n群の最初の数はn≧2のとき
(1+2+・・・・+2^n-2)+1=2^n-1/2-1+1=2^n-1
これはn=1のときも成り立つ。したがって最初の数は2^n-1。

なんで2^n-1なのに(1+2+・・・・+2^n-2)+1の式では2^n-2になってるんですか？
そのまま2^n-1を足してはいけないんですかね??
-1がなんで-2になってしまってるのでしょうか？

お願いします

回答No.3

noname#208901

まず問題自体に疑問があります。14が抜けてる気がするのですが正しいですか？

14があるものとして説明させていただきますね。

群数列は難しいですよね。そのためいくつかに情報を整理することを考えましょう。

(1)まず、群を全く無視して数列を考えてみましょう。これはn。ですね。

(2)それぞれの群に何個の数字が並んでいるのか数えてみましょう。

第1群　1個

第2群　2個

第3群　4個

第4群　8個

すなわち、一群ごとに、2^n-1個　ほど増えていっていることがわかる。

第N群　2^n-1個　です。

n群の最初の数字をだすには、どうすればいいでしょうか。

この問題では一般式がｎなので、上記の計算によって出てきた数字が

そのまま、ｎ群の最初の数字になってますからわかりやすいですね。

第n群の最初の数字は2^n-1です。第1群は１　2群は２　3群は４　

というふうに、2^n-1にあてはめればだせちゃいますね。

では、本題に入ります。

第n群には2^n-1個の数字が含まれていることは上記のとおりですよね？

1群には1個　2群には2個、3群には4個　4群には8個あります。

としてn群には2^n-1個ございますよね？

あなたの質問記載の回答は、この数字をすべて足しております。

1+2+4+8+ ・・・・・・+2^n-1というように。

こうするとどういうことが起こるかというと、

たとえば、1+2は3ですよね？

これは、「第一群に含まれる数字の個数＋第2群に含まれる数字の個数」なんです。

これの意味しているところは、「第2群の最後の数字が、第何項目にあるのか。」を示しているのです。

つまり、第2群の最後の数字が、第3項目にあるということを示しています。

表現が長々しくてわかりにくいでしょうが、正確にじっくりよんであてはめていただけたら幸いです。

例）1+2+4+8=15です。これは第1群から第4群までの数字の個数の合計に一致します。

すなわちこの１５は、4群の最後の数字が、第15番目にある。ということを示しています。

そのため、n群の最初の数字を出したい場合、その最初の数字というのは、「何番目」にあるのか

を考えると、n-1群の合計によって出された項数+1

すなわち、1+2+4+8+・・・・2^n-2　の＋１項目に存在することになるのです。

1+2+4+8+・・・・2^n-2は、n-1群までの項数の合計ですね。

ここでn-2がでてくるというわけです。

だから2^n-1群の前の群の最後の数字までの個数＋１という意味で上記質問の回答のような

形が出てきているというわけです。

わかりにくいですかね・・・。

上記の例に従ってやってみます。

1+2+4+8+・・・・・・2^n-2 これにより、n-1群の最後の数字を出すことができるのです。

そのため、n群の最初の数字は最後の数字、＋１ですよね？

以上より1+2+4+8+16・・・・・２^n-2は、

n-1群の最後の数字が1+2+4+8+・・・2^n-2番目にありますよ。ということを示しています。

そうすると、n群の「最初」の数字は、（1+2+4+8+・・・2^n-2）+1番目にあるということになるわけです。

おわかりいただけたでしょうか。

上記問題はたまたま数列がnの群数列でしたから、項数＝群の最初の数。となって都合がよかったですが、

実際はnとならない群数列の方が多いですよね。

そういう場合であっても、第n群の最後の数字が何番目にあるのか。という視点は、計算の過程、

問題を解く過程で重要なプロセスとなっておりますので、この機会に頭にいれておいていただけたら、

とおもいます。その数の出し方はどうすればいいのかときかれたらもちろん、其々の群が何個ずつ数字を含んでいるか。

を見抜く事が出来れば、それらをすべて足してすぐに求めることができます。ここまで読んでいただきありがとうございました。

回答No.2

noname#116057

＞2^n-1
間違いです。正しくは2^(n－1)です。

回答No.1

naniwacchi

こんにちわ。

まず、第 n群の最初の数とは、「第 n-1群の最後の数の次の数」ですよね。
ということは、
（第 n-1群の最後までの項数）＋１

が、第 n群の最初の数が全体で何番目になるかを表しています。

これでもう一度よく考えてみてください。
簡単に絵を描いた方がよいとは思います。
（考えている項がどこにあるのかを把握するために）