群数列の応用問題

質問

群数列の応用問題の解き方を教えてください。

「n を自然数とし，次のように正の奇数を小さい順に並べ，第 n 群に n 個の項
が含まれるような群に分ける。
　　　　　1 | 3，5 | 7，9，11 | 13，15，17，19 | 21，…
この数列の各群における 1 番目の項と末尾の項を除いた数列
　　　　　9 | 15，17 | 23，25，27 | 33，…
についても第 n 群に n 個の項が含まれるような群に分けるとき，第 n 群に含まれ
る項の和を求めなさい。」

回答No.1

kiha181-tubasa · ベストアンサー

※群数列では「群に分ける前の元の数列」「各群に属する項の数」の２つに着目すると考えやすくなります。「各群の１番目の項に着目する」方法もありますが，階差数列を考える必要が乗じます。

さて……
まず元の群数列の第ｎ群について調べます。
第ｋ群にはｋ個の項が属するから，第(ｎ－１)群までの項数は
１＋２＋３＋……＋(ｎ－１)＝(ｎー１)ｎ/２
です。したがって
第ｎ群の１番目の項は，初項１公差が２の等差数列の第((ｎー１)ｎ/２＋１)項であるから
１+((ｎー１)ｎ/２＋１－１)＊２＝ｎ＾２－ｎ＋１……①
となります。
そして，各群の１番目の項と末尾の項を除いて作られた新しい群数列の第ｎ群は元の群数列の第(ｎ＋２)群である。

元の群数列の第(ｎ＋２)群の１番目の項は，①のｎをｎ＋２に置き換えて
(ｎ＋２)＾２ー(ｎ＋２)＋１＝ｎ＾２＋３ｎ＋３
２番目の項は(元の数列が公差２の等差数列だから)
ｎ＾２＋３ｎ＋３＋２＝ｎ＾２＋３ｎ＋５
となります。
これが新しい群数列の第ｎ群の１番目の項になります。

そして，新しい群数列の第ｎ群の項数は(１番目と末尾を除くから)ｎなので項数はｎです。
従って，新しい群数列の第ｎ群の１番目の項はｎ＾２＋３ｎ＋５，公差は２，項数はｎだから，それらの和は
ｎ(２(ｎ＾２＋３ｎ＋５)＋(ｎー１)＊２)/２
＝ｎ(ｎ＾２＋４ｎ＋４)
＝ｎ(ｎ＋２)＾２
となります。