スピンのフーリエ変換

質問

教科書を読んでいたらスピン波のところでスピン波のところでスピンのフーリエ変換を以下のように定義していました。

S_｛m x｝=（Ｎ）＾｛-1/2｝Σ_｛ｑ｝Ｓ_｛ｑ　ｘ｝e^{iqr_{m}}　(1)

逆変換を

S_｛ｑ x｝=（Ｎ）＾｛-1/2｝Σ_｛ｍ｝Ｓ_｛ｍ　ｘ｝e^{-iqr_{m}}　(2)

r_{m}:スピンの位置？　ｑ：逆格子ベクトル　Ｎ：スピンの総数

(1)を(2)に代入すると当然両辺ともS_｛ｑ x｝になるはずなのですが、この変形がよくわかりません。Δ関数の積分表示を使うのだとは思うのですが、どうやって積分に持っていくのかわからず、係数がうまく合わせることができません。逆格子の和のとり方などがわかっていいないのだと思います。

面倒だとは思いますが、詳細な計算過程を教えてください。なお課題等ではありません。よろしくお願いします。

回答No.3

heboiboro · ベストアンサー

> ＞q=2kπ/aN (k=-N/2,-N/2+1,...,N/2-1)
> のｋの最大値はなんでN/2ではなくN/2-1なのでしょうか？
最大値がN/2ですと、|k-k'|=Nになることがあります。
|k-k'|=N のときにも先ほどの和はNになるので、これは都合がよくありません。
また素朴に考えれば、N自由度系をフーリエ変換したらN自由度系になるのが自然であって、N+1個あると自由度が一つ多いです。
（別に、k=-N/2+1,-N/2+2,...,N/2 でも、k=0,1,...,N-1 でもいいわけですが。教科書でどうなっているかはご自分で確認してください）

> ＞Σ[m=0 to N-1] e^(i(q-q')r_m) = (1-e^(2πi(k-k')))/(1-e^(2πi(k-k')/N))
> のΣ[m=0 to N-1]は[m=１ to N]を等比級数の公式に合わせるため１だけずらしたものと考えてよいのでしょうか？
すいません、質問文にr_1からr_Nと書いてあるのをよく見てなくてr_0からr_{N-1}と勘違いしてしまっただけです。
1からNでも最終的な結果は同じになるはずです。

お礼

しつこい質問に忍耐強く答えていただきありがとうございました。
無事理解することができました。
今後似たような問題にも対処できるかと思います。

回答No.4

metzner

こんにちは、

aをスピンがある格子の間隔とします。 N+1個格子を行くと同じものが繰り返されるという周期境界条件を考えます。この時、

基本的な関係は

k=2πm/(a(N+1)),(m は整数)

に対して、

Σn=0-N exp(ikan) = (N+1)δk G

です。ここでGは逆格子ベクトル2πp/a (p は整数)　です。

またn を整数として、

Σk=1stBZ exp(ikna) = (N+1)δn=0 (mod(N+1))

も同様に成立します。

以上はすべて等比級数ですから容易に確認できるはずです。離散フーリエ変換の内容です。

お礼

回答ありがとうございます。
まとまっていてわかりやすかったです。

回答No.2

heboiboro

> この第一ブリルアンゾーンで和をとるというのがよくわからないのですがこれは、ｑが-π/aからπ/aの間ででｑ＝π/（aＮ）ごとに和をとるということなのでしょうか？（a；格子定数）

一次元でしたら、とりあえず次のようにすれば上手くいくと思います。
q=2kπ/aN (k=-N/2,-N/2+1,...,N/2-1)
とりうるqの値は全部でN個あります。

r_m = a*m とすると、qr_m=2mkπ/N ですので、(q-q')r_m=2πm(k-k')/N
すると、k≠k'のとき、#1に書いた和は、等比級数の公式を使って、
Σ[m=0 to N-1] e^(i(q-q')r_m) = (1-e^(2πi(k-k')))/(1-e^(2πi(k-k')/N))
となります（括弧ばかりで見づらくてすみません）。
k-k' は整数なので、分子の指数関数は1となり、引き算して0になります（分母はk≠k'かつ-N<k-k'<Nでは0にならないのがポイントです）
ですので結局、Σ_m e^(i(q-q')r_m) = Nδ_{qq'} となります。

補足

おお！できそうな気がしてきました。
いくつか確認なのですが

＞q=2kπ/aN (k=-N/2,-N/2+1,...,N/2-1)

のｋの最大値はなんでN/2ではなくN/2-1なのでしょうか？

また

＞Σ[m=0 to N-1] e^(i(q-q')r_m) = (1-e^(2πi(k-k')))/(1-e^(2πi(k-k')/N))

のΣ[m=0 to N-1]は[m=１ to N]を等比級数の公式に合わせるため１だけずらしたものと考えてよいのでしょうか？

質問ばかりすみません。これ以外はほとんど理解できたと思います。

回答No.1

heboiboro

和の取り方が少し謎ですが、とりあえず意図としては以下のような感じだと思います（δ関数は使いません）

(2)の右辺に(1)を代入すると、
1/N Σ_mΣ_q' S_q' e^(i(q'-q)r_m)

二つの和のうち、mに関する和を先にとることを考えます。
Σ_m e^(i(q'-q)r_m)
これは、q=q'では指数関数がmに関わらず1になるのでN個のスピンについて和をとってNになります。
一方でq≠q'だと、0になります（というのはこのままだとうまくいかないのですが、指数関数の肩がqr_m/N みたいな感じだとうまく0になってくれるような気がします。qやr_mの定義を確認してください）
ですので、Σ_m e^(i(q'-q)r_m)=Nδ_{qq'} （δはクロネッカーのデルタ）

これを最初の式に代入してやれば、S_q になります。

補足

回答ありがとうございます。
やはり

＞一方でq≠q'だと、0になります（というのはこのままだとうまくいかないのですが、指数関数の肩がqr_m/N みたいな感じだとうまく0になってくれるような気がします。qやr_mの定義を確認してください）

の部分がわからないですorz

qは逆格子ベクトルで、第一ブリルアンゾーンで和をとるようです。r_mに関しては詳しく書いてないのですがスピンの位置ベクトルでr_１～r_Ｎまでとるのだと思います。

この第一ブリルアンゾーンで和をとるというのがよくわからないのですがこれは、ｑが-π/aからπ/aの間ででｑ＝π/（aＮ）ごとに和をとるということなのでしょうか？（a；格子定数）
うーん。よくわからん。。