離散フーリエ変換

質問

連続関数f(x)をフーリエ変換してときの係数をcnとすると、
連続関数からサンプル点での値をとってf(xj)の離散フーリエ変換したときの係数c'nとすると両者は同じものなのでしょうか？サンプル点の数とかによるのかもしれませんが、c'nというのは厳密なものなので同じになる気もします。
よくわからないので教えてください．お願いします。

回答No.1

stomachman · ベストアンサー

「ナイキストのサンプリング定理」の話ですね。

以下、めんどくさいから定数倍を無視して書きますと、

fをフーリエ変換したときに得られるのは（係数cnなんかじゃなくて）関数F(ω）であり、
f(x) ～ ∫ F(ω) exp(-iωx) dω　（積分はω=-∞ ～ ∞）
となる。特にfが周期関数の場合には、δ関数の列
F(ω）=Σc[n] δ(ω-nΔω) （総和はn=-∞ ～ ∞)
が得られ
f(x) ～ ∫ F(ω) exp(-iωx) dω = Σc[n] exp(-inΔωx) （総和はn=-∞ ～ ∞)
となります。

　一方、fが周期関数であるとき、これをフーリエ級数展開すると係数c[n]が得られ、
f(x) ～　Σ c[n]exp(inωx)　（総和はn=-∞ ～ ∞)
です。この場合、fのフーリエ変換はδ関数の列
F(ω) = Σc[n]δ(ω-nW)（総和はn=-∞ ～ ∞)
となります。

　ところで、離散フーリエ変換ってのは、「f(x)が周期関数であって、それをサンプリングしたものをフーリエ変換する」という場合の話です。

　サンプリングをするというのは、サンプリング関数をs(x)と書いて
f(x)s(x)
を作るということ。ここに、
s(x) = Σδ(x-mΔx) （総和はm=-∞ ～ ∞)
です。sのフーリエ変換は
S(ω) = Σδ(ω-nW) （総和はn=-∞ ～ ∞)
ここにWはサンプリング周波数。
従って、f(x)のフーリエ変換をF(ω)とすると、f(x)s(x)のフーリエ変換は
F(ω)*S(ω)　（*は畳み込み積分）
です。Sの式から分かるように、これは周期Wの周期関数であり、すなわち、
F(ω+kW)*S(ω+kW) = F(ω)*S(ω) (kは整数）
を満たしています。

　特に、もしf(x)がサンプリング周波数の半分(W/２)（これを「ナイキスト周波数」と言います）以上の周波数成分を全く含まない場合に限ると、
|ω|≦(W/２)のとき、F(ω)*S(ω) = F(ω)
となりますから、この場合には
G(ω) = |ω|≦(W/２)のとき1、それ以外の時0
という関数を掛け算してやると、全てのωについて
(F(ω)*S(ω))G(ω) = F(ω)
となり、f(x)のフーリエ変換と一致する。
両辺を逆変換すれば、
Σf(nΔx)δ(x-nΔx) *sinc(x/(πΔx)) = f(x) （総和はn=-∞ ～ ∞, sinc(x)=sin(x)/x )
である。つまり、fをサンプリングしたものから、f全体を再現できるわけです。

　さて、以上の話では、f(x)が周期関数かどうかは関係ない。なので、離散フーリエ変換（「f(x)が周期関数であって、それをサンプリングしたものをフーリエ変換する」という場合の話）でも同じように成り立ちます。
　ですから、「もしf(x)がナイキスト周波数(W/２)以上の周波数成分を全く含まない」ならば、ご質問の答はyesである。さもなくばnoである。

お礼

とてもわかりやすい説明をありがとうございました。