フーリエ変換にて

質問

f(x)=0(-π<x<0),1(0<x<π)
のフーリエ級数を求めよという問題です。

答えを見るとsin(2n-1)xを積分しているようなのですが
なぜsin nxではなく(2n-1)xを積分しているのでしょうか？

回答No.1

info22 · ベストアンサー

フーリエ級数の展開式の定義を書き、その展開係数の公式を補足に書いてみて下さい。

>なぜsin nxではなく(2n-1)xを積分しているのでしょうか？
sin(nx)で積分することがフーリエ級数展開の定義で、係数の公式でそうなっていると思います。
係数の公式 b[n]の積分を実行すれば、nが偶数のときb[n]=0となることが出てきます。
従って、nが奇数のときだけ b[n]が存在します。
そのため、b[n]が奇数項のみ残るということで、nの代わりに b[2n-1] と表現しただけです。

補足

f(x)=a0/2 + Σ（an cosnx + bn sinnx）
a0=2/π ∫[0,π]f(x)dx
an=2/π ∫[0,π]f(x)cosnxdx
bn=2/π ∫[0,π]f(x)sinnxdx

こういうことでしょうか？

回答No.3

info22

#1,#2です。
A#2の補足について
>b[n]={0(n=偶数のとき)、2/nπ(奇数のとき)
>となりました。
これなら合っています。

f(x)=(1/29+(2/π)sin(x)+(2/(3π))sin(3x)+(2/(5π))sin(5x)+...
=1/2+(2/π)Σ[k=1,∞]sin{(2k-1)x}/(2k-1)
とフーリエ級数展開できるわけです。

お礼

ありがとうございました。
また何かあればお願いします。

回答No.2

info22

#1です。
A#1のフーリエ係数の式
>a0=2/π ∫[0,π]f(x)dx
>an=2/π ∫[0,π]f(x)cosnxdx
>bn=2/π ∫[0,π]f(x)sinnxdx
は（基本周期πの時の係数の式になっているので）間違っていますね。
f(t)の基本周期TはT=2πです。その係数の式になっているか良く考えて見てください。下の参考サイトにT=2πのときの正しい式が載っています。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%83%BC%E3%83%AA%E3%82%A8%E7%B4%9A%E6%95%B0
の中の係数公式と比較してみてください。

a[0]=1
a[n]=0
b[n]=　←これを計算するとnが偶数の時ゼロになることを計算して確認してみて下さい。
結果を補足に書いて見てください。

補足

遅くなってすいませんでした。

b[n]={0(n=偶数のとき)、2/nπ(奇数のとき)
となりました。