フーリエ級数の質問です

質問

f(x)=x (-π＜x≦π)のフーリエ級数を求め、その結果を用いて次の関係を示せ。

π^2/12=Σn=1から∞　(-1)^n+1 ×n^(-2)=1-1/4+1/9-1/16.......

この関係の示し方がわかりません。たぶん求めたフーリエ級数を両辺を積分してx^2の形を作ってどうこうするのかなと思いますが示すところまでたどり着けないです。
どなたかよろしくお願いします。

回答No.3

muturajcp

xのフーリエ級数を積分してx^2の形を作って
x^2のフーリエ級数と比較して示す

f(x)=x,(-π<x≦π)
g(x)=x^2,(-π<x≦π)
とすると
f(x)は奇関数だから
f(x)=Σ_{n=1～∞}(b_n)sin(nx)
b_n=(1/π)∫_{-π～π}f(x)sin(nx)dx
b_n=(1/π)∫_{-π～π}xsin(nx)dx
b_n=(1/π)[[-xcos(nx)/n]_{-π～π}+∫_{-π～π}cos(nx)/ndx]
b_n=2(-1)^{n+1}/n
f(x)=Σ_{n=1～∞}[2(-1)^{n+1}/n]sin(nx)
項別に積分して
∫_{0～t}xdx=Σ_{n=1～∞}[2(-1)^{n+1}/n]∫_{0～t}sin(nx)dx
[x^2/2]_{0～t}=Σ_{n=1～∞}[2(-1)^{n+1}/n][-cos(nx)/n]_{0～t}
t^2/2=Σ_{n=1～∞}[2(-1)^{n+1}][1-cos(nt)]/n^2
↓両辺を2倍して
↓c=4Σ_{n=1～∞}[(-1)^{n+1}]/n^2
↓としてtをxに
↓置き換えると
g(x)=x^2=c+4Σ_{n=1～∞}[(-1)^n][cos(nx)]/n^2
↓cは偶関数g(x)のフーリエ級数の初項a_0/2だから
c=a_0/2=(1/π)∫_{0～π}x^2dx=(1/π)[x^3/3]_{0～π}=π^2/3
↓
π^2/3=c=4Σ_{n=1～∞}[(-1)^{n+1}]/n^2
↓∴
π^2/12=Σ_{n=1～∞}[(-1)^{n+1}]/n^2

回答No.2

info22_

No.1です。
>a0=0,an=0,bn=2/n^2(-1)^n+1　と求まりました。
a0,an(n≧1)は合ってますが、
bnは間違っています。
正：bn=(2/n)*(-1)^(n+1)

bnの積分計算が書いてありませんのでチェックできません。

-π＜x＜πで
x=Σ[n=1～∞] (2/n)*{(-1)^(n+1)}sin(nx)
両辺を範囲[0→t]で積分すれば -π<t<π
∫[0→t]xdx=[x^2/2][0→t]=(1/2)t^2
=∫[0→t]{Σ[n=1～∞] (2/n)*{(-1)^(n+1)}sin(nx)dx
=Σ[n=1～∞] {(2/n)*{(-1)^(n+1)}∫[0→t]sin(nx)dx
=Σ[n=1～∞] {(2/n)*{(-1)^(n+1)}[(-1/n)cos(nx)][0→t]
=Σ[n=1～∞] {(2/n^2)*{(-1)^(n+1)}{1-cos(nt)}

のような関係式が出ますが…

回答No.1

info22_

>たぶん求めたフーリエ級数を両辺を積分してx^2の形を作ってどうこうするのかなと思いますが示すところまでたどり着けないです。

質問する場合はやった途中計算式を書いて行き詰まっている箇所を質問してください。

求めたa0,an,bnとフーリエ級数展開式を補足にお書き下さい。
そのあと、正しいかチェックしてから質問に回答させて頂きます。

補足

a0=0,an=0,bn=2/n^2(-1)^n+1　と求まりました。