合成関数とフーリエ変換の問題？？

質問

この前、

f(x)
=e^(-x) (0≦x)
=0 (x≦0)

g(x)
=0 (0＜x)
=e^x (x≦0)

という関数について、
f*g（fとgの合成積）
Ff(ｆのフーリエ変換)
Fg（のフーリエ変換）の三つを求めなさい、

という問題が出たのですが、さっぱり分かりませんでした。

一応それぞれの定義は分かっているんですが、合成積については、どの式とどの式をかけて、どこの範囲で積分したらよいのやら…。

また、フーリエ変換もどの式をどの範囲で積分したらよいのか分かりません。

どなたか、簡単にでも結構なんで、分かる方教えてください。よろしくお願いします。

回答No.4

Rossana · ベストアンサー

まず，
>f(x)
>=e^(-x) (0≦x)
>=0 (x≦0)
この式は矛盾により計算不可能です！！
なぜなら，x=0にてf(x)=1=0と二通りに異なる値をとってしまいます．
f(x)
=e^(-x) (0＜x)
=0 (x≦0)
の間違いではないですか？

合成積の定義は
f(x)*g(x)=∫[-∞→∞]f(t)g(x-t)dtですが，
この場合境界がありますよね．だから，境界を分ける必要があります．まずはf(t)とg(x-t)でf(t)の方はxに左右されませんから，f(t)について境界を分けます．
f(x)*g(x)=∫[-∞→0]f(t)g(x-t)dt
＋∫[0→∞]f(t)g(x-t)dt
=∫[0→∞]e^(-t)g(x-t)dt
次に，g(x-t)についてですが，xに依存するので，まず，問題をもう少し簡単にするため場合分けしましょう．
1)x≦0のとき
任意のxに対し，x－t≦－t＜0 (∵0<t)ですから，
g(x-t)=e^(x-t)
これを代入して計算します．
2)0＜xのとき
境界が，2つに分かれます．
f(x)*g(x)=∫[0→x]e^(-t)g(x-t)dt＋∫[x→∞]e^(-t)g(x-t)dt
=∫[0→x]e^(-t)e^(x-t)dt
となります．

フーリエ変換は合成積よりは計算は簡単なはずです．
なお，問題には関係ないですが，重要な性質で，
f*gのフーリエ変換がFf・Fgになるということも覚えておいて下さい．
では，頑張って下さい！
ちなみに，0≦xでなく0<xという境界でも計算できるのは広義積分として考えているからです．

お礼

すみません、最初のほうの、間違いに関するご指摘は、仰るととおりです。詳しいご回答どうもありがとうございました。おかげさまで解けました！

回答No.3

2718281828

＃２さんのおっしゃった、ことに尽きるかと思います。
> あなたが理解している定義を教えてくだされば、どこでつまずいているのかがわかると思います。

合成積の定義をどう理解しておりますか？＃１さんには失礼ですが、ただ掛け算すれば良いのではありません。ここで数式を書いても解かりにくいと思いますので、お使いの教科書で「コンボリューション」を調べて下さい。

それで尚不明点があれば、補足にでも追加質問をして下さい。

回答No.2

nakaizu

定義がわかっていれば、定義式に当てはめるだけで計算できるはずです。
あなたが理解している定義を教えてくだされば、どこでつまずいているのかがわかると思います。
合成積の定義によっては積分区間が明示されていないこともありえます。この問題の場合は常識的には-∞から∞が積分区間です。もっともコンパクトサポートなので、実際の積分区間は有界です。
Fourier変換は教科書により微妙に定義が違うことがあります。（本質的には同じですが）
なお、No１の回答の方は何かを勘違いされていると思われます。

補足

no.1のかたの補足にも書いたように、
どうやって－∞から∞まで積分するのか分かりません。
－∞から0までの範囲と、0から∞の範囲に分けてやればよいのでしょうか？
それにしても例えばfのｘ＜0の範囲で、「0を積分する」ということが分かりません。
0を積分したら0ですか？

回答No.1

graduate_student

まず,f(x)とg(x)のグラフを書きましょう.
2つのグラフを描くことができたら,積をとりましょう.
（例）x=aでのf(x)とg(x)の積は,f(a)*g(a)ですね.

次にフーリエ変換ですが,積分区間は-∞から∞までです.
つまり,∫f(x)dxを-∞から∞まで積分しましょう.

補足

積というのは、

e^(-x)*0

と

e^x*0

を計算するという意味ですか？
するとこのf*gの答えは0になるということでしょうか？

それから、フーリエ変換は、
e^(-x),e^xをそれぞれ－∞から∞まで積分すればいいんでしょうか？
でも、fは0＜ｘにおいて0だし…。－∞から∞で積分しちゃっていいんでしょうか？