線形代数で困ってます

質問

線形代数の問題です。

　　 （　５　－１　１　　）
A＝（　８　－１　２　　）　に対し、A＾n（n∊N）を求めよ
　　 （－６　１　－１ ）

という問題なのですが、Aを対角化して解こうとしたのですが、
固有値＝１になってしまいうまく対角化出来ません。

そもそものアプローチが間違っているのでしょうか？
解る方いらっしゃれば回答お願いいたします。

回答No.1

metzner · ベストアンサー

固有値が１つしかないからと言って常に対角化不可ではありませんが、今の場合は固有空間が１次元なので対角化不可ですね。よって対角化をつかった作戦は使えません。

ケーリーハミルトンを使うと

(A - E)^3 = O

ですから、これを使いましょう。

x^nを(x-1)^3で割り算しましょう。

x^n = (x-1)^3q(x) + ax^2 + bx +c

を得たとしましょう。a,b,cはご自身でお求めください。（微分を利用すれば容易です。nの大きさに注意してください。）

この恒等式はxが行列の時にも成立します。

よって

A^n = (A - E)^3q(A) +aA^2 +bA +cE

です。(A -E)^3 = Oでしたから、

A^n = aA^2 + bA + cE

です。先に求めたa,b,cを使い後は具体的に計算してください。

一般的にはジョルダン標準形を利用するといいと思います。

お礼

お二人ともありがとうございます。
双方共に参考になりましたが、
早かった方の方をベストアンサーとさせていただきました。

回答No.2

alice_44

固有値に重根がある場合には、対角化でなく
ジョルダン標準化を考えましょう。
質問の A は、固有値 1 が 3 重根ですね。
行列 A-1E を実際に書き下してみると、
rank(A-1E)=2 であることがスグ判って、
そこから、A のジョルダン標準形は
3 次ジョルダン胞 1 個からなることが解ります。
ジョルダン標準形の巾乗については、
教科書でも見てください。ジョルダン標準形は、
対角行列と巾零行列の和で書けます。
この和の巾乗を、二項定理で展開すれば ok です。