線形代数がわかりません・・・

質問

線形代数がわかりません・・・

A? = －A となる行列を歪エルミート行列という。
(1) 歪エルミート行列の固有値は全て純虚数であることを示せ。
(2) 歪エルミート行列の相異なる固有値に関する固有空間は互いに直交することを示せ。
(3) 歪エルミート行列はユニタリ行列で対角化できることを示せ。

がわかりません。。。おねがいします＞＜

回答No.3

muturajcp

Aの共役行列をA~
Aの転置行列をt(A)
Aを歪エルミート行列とする
t(A~)=-A

(1)
Aの固有値λ
固有ベクトルx
とすると定義から
Ax=λx…(1)
両辺の共役転置行列をとれば、
-t(x~)A=t(x~)t(A~)=t((Ax)~)=t((λx)~)=λ~t(x~)
右からxをかけると
-t(x~)Ax=λ~t(x~)x…(2)
(1)の左からt(x~)をかけると
t(x~)Ax=λt(x~)x…(3)
(2)+(3)から
0=(λ+λ~)t(x~)x , t(x~)x>0
∴λ+λ~=0
すなわち　λの実数部は0で準虚数である

(2)
Aの異なる固有値λ1,λ2に応ずる固有ベクトルを
x,y
とすれば、
Ax=λ1x …(1)
Ay=λ2y
λ2は準虚数でλ2~=-λ2だから、共役転置行列をとれば
-t(y~)A=λ2~t(y~)=-λ2t(y~)
右からxをかけると
-t(y~)Ax=-λ2t(y~)x…(2)
(1)の左からt(y~)をかけると
t(y~)Ax=λ1t(y~)x…(3)
(2)+(3)から
0=(λ1-λ2)t(y~)x　,　λ1≠λ2
∴t(y~)x=0
すなわちxとyは垂直である

(3)
行列Aの次数nについて帰納法を用いる.
n=1のときは自明である.
n-1次のとき対角化できると仮定すると
Aの固有値をλ_1としてそれに応ずる固有ベクトルで長さ1のものを
x=(x_{1,j})_{j=1～n}
とする
xA=λ_1x , xt(x~)=1
xを第1行,xと直交し互いに直交するn-1個の長さ1のベクトルを第2～n行とするユニタリ行列
L_1=((x_{i,j})_{j=1～n})_{i=1～n}, t(L_1~)=L_1^{-1}
をとる
L_1t(L_1~)=Eの第1行
xt(L_1~)=(1,0,…,0)
となっている
H=L_1At(L_1~)の第1行は
xAt(L_1~)=λ_1xt(L_1)=(λ_1,0,…,0)
となる.t(H~)=-L_1At(L_1~)=-Hだから
Hの第1列はt(λ_1,0,…,0)となる.
H=L_1At(L_1~)=
(λ_1,　　　0,…,　　　0)
(　 0,a_{2,2},…,a_{2,n})
(　…,　　…　…　　　…)
(　 0,a_{n,2},…,a_{n,n})
の形になる。
行列
H_1=((a_{i,j})_{j=2～n})_{i=2～n}, a_{i,j}~=-a_{j,i}
はn-1次歪エルミート行列だから帰納法の仮定によって
H_2=L_2'H_1t(L_2'~)=
(λ_2, 0,…,0)
(　 0,λ_3,…,0)
(　…　… … …)
(　 0,……,λ_n)
となるようなn-1次ユニタリ行列L_2'をとれる
L_2=
(1,　 0)
(0,L_2')
L=L_2L_1
とすると,Lはn次ユニタリ行列で
H'=LAt(L~)=L_2(L_1At(L_1~))t(L_2~)=
(1,　 0)(λ_1,　0)(1,　　　 0)
(0,L_2')(　 0,H_1)(0,t(L_2'~))
=
(λ_1,　 0,…,　 0)
(　 0,λ_2,…,　 0)
(　…　…　…　 …)
(　 0,　 0,…,λ_n)

回答No.2

Tacosan

「いまいちわからない」ということは, 大体のことはわかるってことだな.
OK, じゃあエルミート行列ではこの (1)～(3) に対応してどのような命題になるかを書いて, それをおよそでいいので証明してみてください.

回答No.1

Tacosan

どこが分からんのだ? 歪エルミートじゃなくてエルミートだったらわかるか?

補足

エルミートでもいまいちわからないんです…