線形代数についてです・・・

質問

線形代数についてです・・・

U をn 次ユニタリ行列で|U － En| ・= 0 であるとき、
iH = (U + En) ? (U － En)－1
(1) H はエルミート行列であることを示せ。
(2) U の固有値でH の固有値を表せ。

これがわかりませんお願いします＞＜

回答No.5

muturajcp

訂正します。
U~をUの共役行列
t(U)をUの転置行列
Uをn次ユニタリ行列
Enを単位行列
iH=(U+En)(U-En)^{-1}
とすると
t(U~)=U^{-1}
だから
H=-i(U+En)(U-En)^{-1}
H(U-En)=-i(U+En)
H~(U~-En)=i(U~+En)
(t(U~)-En)t(H~)=i(t(U~)+En)
(U^{-1}-En)t(H~)=i(U^{-1}+En)
U(U^{-1}-En)t(H~)=iU(U^{-1}+En)
(En-U)t(H~)=i(En+U)
t(H~)=-i(U-En)^{-1}(U+En)=-i(U+En)(U-En)^{-1}=H
Hはエルミート行列

Uの固有値をλ
固有ベクトルをx
λ~をλの共役複素数
とすると
Ux=λx
Hx=(-i(U+En)(U-En)^{-1})x=-i(λ+1)/(λ-1)x
Hの固有値は
-i(λ+1)/(λ-1)

回答No.4

Tacosan

(U-En)(U^-1-En) = 2En - U - U^-1 だから一般には (U-En)^-1 ≠ U^-1-En ですぜ＞#3.

回答No.3

muturajcp

U~をUの共役行列
t(U)をUの転置行列
Uをn次ユニタリ行列
Enを単位行列
iH=(U+En)(U-En)^{-1}
とすると
t(U~)=U^{-1}
だから
(1)
iH=(U+En)(U-En)^{-1}=(U+En)(U^{-1}-En)=U^{-1}-U
H=iU-iU^{-1}
t(H~)=iU-iU^{-1}=H
Hはエルミート行列

(2)
Uの固有値をλ
固有ベクトルをx
λ~をλの共役複素数
とすると
Ux=λx
U~x~=λ~x~
t(x~)U^{-1}=λ~t(x~)
t(x~)x=λ~λt(x~)x
1=λ~λ
U^{-1}x=λ~x
Hx=(iU-iU^{-1})x=iUx-iU^{-1}x=iλx-iλ~x=i(λ-λ~)x
Hの固有値は
i(λ-λ~)

回答No.2

Tacosan

「ｉＨとＨの関係性はかかれてないです…」といわれても, その関係が読めなければ問題の解きようがない. 素直に読めば「i×H」なんだけど, H=... という形で書いてないのがなんとなくひっかかったので聞いただけではある.
で本題にいくと, (1) は「H がエルミートである」ことをいうためには何が示せればいいか, そしてそれを示すには何がいえればいいか, と遡るのが簡単でしょうか. U がユニタリであることをどこでどう使うかという問題.
(2) は, (1) と関係なく答えられる. U の固有値・固有ベクトルをもってくれば, それを使って H の固有値・固有ベクトルが書けるはずだ.

回答No.1

Tacosan

そもそも問題の意味が分からん.
・|U － En| ・= 0 ってどういうこと?
・iH = (U + En) ? (U － En)－1 ってなに?
・iH と H とはどのような関係にある?

補足

携帯だと文字化けするみたいです…＞＜

│Ｕ―Ｅｎ│≠０

ｉＨ＝(Ｕ＋Ｅｎ)×(Ｕ―Ｅｎ)^(―１)

ｉＨとＨの関係性はかかれてないです…