線形代数の問題

質問

A=(2 1)
　　(0 2)

A^nを求めよという問題です。

法則性を見つけて漸化式を作って解くというやり方はわかりますが、
今度はAをP^(-1)APによって対角行列を求めてA^nを求めるというやり方でやろうと
したのですが、それができませんでした。

なぜかといいますと、まずAの固有値を求めるとλ=1，3になります。

それぞれの固有値に対応する固有ベクトルは皆0なんです。それじゃ、対角行列が求まりませんね。どこが問題なのか全くわかりません。

どなたわかる方がいらっしゃいましたら、ご教授いただけますでしょうか。

回答No.4

sunflower-san · ベストアンサー

Aは半単純行列でないので対角化は出来ませんが、下の画像のように計算出来ます↓

この投稿のマルチメディアは削除されているためご覧いただけません。

お礼

丁寧に画像まで付けていただいて、本当にありがとうございます。
この方法でやります。

回答No.5

alice_44

No.1 さんの言うとおり。
2×2行列の固有値ぐらいは、
ちゃんと求められないと。

とりあえず、今回の行列については、
A=2E+N と置いて、二項定理で展開してみよう。

お礼

計算が間違っててすみません。
二項定理ですね。やってみます！
ありがとうございます。

回答No.3

中村 拓男（@tknakamuri）

固有多項式は (λ-2)(λ-2)=0 だから 固有値は 2(重複解)

既にジョルダン標準形だから、あとはお任せします。

お礼

ご解答ありがとうございます。

回答No.2

Tacosan

わかってない, 何もわかってない.

そもそも 1 や 3 は固有値にならない.

回答No.1

Tacosan

どう計算したら
「Aの固有値を求めるとλ=1，3」
になるんだろう.

お礼

説明不足で申し訳ありません。
λ=1，3まではわかるのですが、それぞれに対応する固有ベクトルが求まらないです。
どちらの固有ベクトルも0になっちゃいました。
なので、肝心の行列Pが求まらないのです。