代数学の質問なんですが・・・

質問

部分群になることの証明なんですがH={2**r*3**s*5**t/r,s,tはZに含まれる}は有理数の乗法群Qの部分群になることの証明なんですが部分群の条件はわかるのですがそれを実際どう使うのかわかりません・・・アドバイス頂ければありがたいのですが・・・ちなみにHは２のｒ乗かける３のｓ条という意味です。

回答No.1

Mell-Lily · ベストアンサー

【問題】
集合H
　H={2^r3^s5^t|r,s,t∈Z}
は、有理数の乗法群Qの部分群になることを証明せよ。

【証明】
(1)（単位元の存在）
　r=s=t=0
とすれば、
　2^r3^s5^t=1=e∈H.
(2)（演算が閉じていること）
　x=2^r3^s5^t∈H, y=2r'3^s'5^t'∈H
とすれば、
　xy=2^r3^s5^t×2r'3^s'5^t'=2^(r+r')3^(s+s')5^(t+t')∈H.
(3)（逆元の存在）
　x=2^r3^s5^t∈H
に対し、
　x^(-1)=2^(-r)3^(-s)5^(-t)∈H
とすれば、
　xx^(-1)=1=e.
以上、(1),(2),(3)より、集合Hは、有理数の乗法群Qの部分群を成す。　q.e.d.

参考URL：

http://www.graco.c.u-tokyo.ac.jp/~kashiwa/sysI/2001/group/node2.html

お礼

ありがとうございました！大変参考になりました。また機会がありましたらよろしくお願い致します！