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特殊線形群の生成元
ｎ次行列でij成分だけが１、他の成分が０であるものをe(ij)で表しておきます。このとき 行列式が１であるｎ次実正方行列（すなわち特殊線形群）は｛1+te(ij)；1は単位行列、ｔは実数、i≠j、1≦i,j≦n｝によって（乗法群として）生成されるでしょうか？またもし生成されるとすれば簡単に証明できるでしょうか？
- ringohatimitu
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- yumisamisiidesu
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よく分らないのに、回答してしまってすいません． SL(n)を乗法群とみたときの基底とベクトル空間と見たときの基底は、違うと思います．(多分、次元も違うと思います) ですが、それらがどう関連があるのか、あまり関連がないのか分りません．質問者様が生成系に選んでいるtは固定されていないで任意の実数を取りうるものと考えておられるますよね？ で、話は変わります．私の考えですが、単位行列を基準に 1.回転 2.座標の交換(対称変換) 3.各座標毎の伸縮を全部掛けると1倍されるような変換 (例：x座標を2倍すればy座標を1/2倍して後はそのまま) この3つの座標変換を組み表せて全てのSL(n)を表すことはできないでしょうか？
- kabaokaba
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感覚的にはNo.1さんのおっしゃるとおり 生成されないとは思います 確信はないですけど(^^;; ＃むしろなぜこの予測に至ったのか， ＃傍証があった方が回答がつきやすいかもしれません ＃学生さんなら先生に聞く方が確実でしょうね 2次の実特殊線形群は3次元の多様体です ということで， {1+te(ij)}で生成されるなら その生成元の個数は3個程度かなという感じで e(ij)はe(12)とe(21)だけ． 全部の組み合わせを考えても大した個数ではないので 試みに回転行列なんかが{1+te(ij)}の組み合わせで 表現できるか考えてみればよいかもしれません とりあえず， 参考URLの書籍を参照してみるのはどうでしょう 行列のなす空間の位相や生成元， 胞体分割など極めて詳しい記述があります． 特殊線形群ではないけども 2次のユニタリ群の生成元は書いてあった気がします． ＃数学科なら図書室にあるかも ＃行列のなす空間（Lie群の初歩的な例）を例に ＃位相幾何を横断的に概観でき，豊富な例で ＃実際に計算もできる名著だと個人的には思います
補足
1+ｔe(ij)というのは行、列基本変形の一部に対応していてこれを適当に組み合わせればSL(n)の任意の元を対角行列にすることが出来ます。問題は単なる行、列に対しての定数倍が許されないところですが２次の場合はSL(2)における対角行列が｛1+ｔe(ij)｝で生成されることが簡単な計算で示せました。すなわちSL(2)は｛1+ｔe(ij)｝で生成されます。高次の場合もおそらく成り立つと思いましたが上手く示せないでいます。参考文献挙げてもらいましたが色々参考にしたいと思います。
- grothendieck
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生成されないと考えられます。行列式が１であるｎ次実正方行列はn^2個の要素に行列式が1と言う条件が付いているので n^2 - 1 個の独立なパラメータを持ちます。一方、1+te(ij)；i≠j の形の行列はn^2-n 個しかないのでnが１より大きい時パラメータの数が足りないと思います。
補足
生成ということなのでt,u,r,...と導入してたくさん掛け合わせるとパラメータの数はいくらでも増やせますよね？多分行列式が１の対角行列（対角成分以外０）が生成されればいいと思うのですが、どうもよくわかりません。
お礼
回答ありがとうございます。また違う考え方の回答も参考になります。ｔは任意の実数を動きます。回答に関してですが多分１，３そして上三角行列による変換によってSL(n)を生成できると思います。ただ質問に関しては色々考えているうちに自分で肯定的に解決しました。結局自分で回答するのもなんですがここに方針を書いてみます： 一般の次数の場合も２次の場合に帰着されます。下の回答に書いてあるとおりSL(n)の対角行列が生成されればいいわけです。そこでまず２次の場合ですが｛1+te(ij)}を上手く（実際４個）組み合わせると (a 0//0 b)という行列を(ab 0//0 1)に変換できます。ここでa,bは0と異なる実数です。これによってn次の対角行列を考えます。一番右下2×2の部分に上の変換（n次に埋め込んだ上で）を作用させると一番下の対角成分が一つ上に掛け合わされます。これを順次繰り返すと結局、一番左上の対角成分が元の対角成分の積で他１の対角行列に変換されます。元の対角行列の対角成分の積は１なので単位行列の変換されることに他なりません。よって対角行列は｛1+te(ij)}で生成されることが分かります。