生成する開基の証明問題で示す事は?
[補題] Xを位相空間とせよ。CをXの任意の開集合Uで∀x∈Uに対し,∃c∈C;x∈c⊂UとなるようなXの開集合の族とする。この時,CはXの開基となる。
[定義] Bが{(a,b);a,b∈R,a<x<b}ならばBによって生成される位相をstandard topologyという。
[定義] Bが{[a,b);a,b∈R,a<x<b}ならばBによって生成される位相をlower limit topologyという。
[定義] 位相空間Xのある開集合の族Bが次の条件を満たす時,BはXの開基という。
任意の開集合が与えられた時,∀x∈G,∃b∈B;x∈b⊂G.
[定義] BをXの開基とする。T={U∈2^X;∀x∈U,∃b∈B;x∈b⊂U}の時,TはBから生成される位相である。
[問] 上記の補題を使って
(1) 可算族B_Q={(a,b);a,b∈Q,a<b}はR上のstandard topologyを生成する開基である事を証明せよ。
(2) 族L={[a,b);a,b∈Q,a<b}はR上のlower limit topologyを生成する開基である事を証明せよ。
が解けずに困っています。
(1)の証明は,可算族B_QがR上のstandard topologyを生成する開基である事を示せばいいのだからstandard topologyの定義から
{U∈2^R;∀x∈U,∃b∈B_Q;x∈b⊂U}={U∈2^R;∀x∈U,∃b∈B;x∈b⊂U}
(但しB={(a,b);a,b∈R,a<x<b})となる事を示せばいいのでしょうか?
(2)の証明も
{U∈2^R;∀x∈U,∃b∈L;x∈b⊂U}={U∈2^R;∀x∈U,∃b∈B;x∈b⊂U}
(但しB={[a,b);a,b∈R,a<x<b})となる事を示せばいいのでしょうか?
こんがらがってきました。とりあえず何を示せばいいのかお教え下さい。すいません。お願いします。m(_ _)m
お礼
回答ありがとうございます。