F分布の密度関数を使った定理の証明

質問

自由度ｍ、ｎのF分布の密度関数F(m,n,z)の定義式（ガンマ関数のたくさんあるややこしい式）を使って、

F(m,n,z)の値がF(n,m,1-z)の値の逆数になることを示せ、という問題がありましたが、教科書にもレジュメにも解説が載っておらず困っています。

どうやって導いたらよいでしょうか？

すみませんがよろしくお願いします。

回答No.1

noname#227064 · ベストアンサー

最初に細かい指摘をすると

> 自由度ｍ、ｎのF分布の密度関数F(m,n,z)の定義式（ガンマ関数のたくさんあるややこしい式）を使って、

m, nのどちらが第一自由度なのか書いていない。
ｚが何であるのか書いていない。
F(m,n,z)は確率密度関数ではなく分位点。
（おそらくF(m,n,z)は第一自由度がm、第二自由度がnのF分布の100z%点か100(1-z)%点のことと思われますが）

といろいろ問題があります。

まずは、第一自由度がm、第二自由度がnのF分布に従う確率変数の逆数の確率密度関数を求めて、これが第一自由度がn、第二自由度がmのF分布であることを示さなければいけません。