積分計算 分布関数

質問

密度関数がf(x)＝√x*e^(-2x) (x>0）の分布関数を求めたいのですがどのようにもとめればいいのでしょうか？？
ヒントには
P(N(0.1)≦ｘ）つまり正規分布の分布関数を用いろと書かれているのですが、その正規分布の分布関数が求まりません。正規分布の分布関数は表を用いることしかやったことないのですが手計算で求められるのでしょうか？？
ガンマ分布も範囲が違うので使えなく、ほかにどのようにやればいいのでしょうか？？
教えてください！！よろしくお願いします。

回答No.1

hitokotonusi · ベストアンサー

分布関数って、

∫[-∞->x] f(x)dx

のことみたいですね。

x=(t/2)^2と置けばdx=(t/2)dtなので

f(x) = √(t^2/4)e^(-t^2/2) (t/2)dt
= (√[2π]/4)t^2 (1/√[2π])e^(-t^2/2)dt

あとは、部分積分を利用してガウス関数の積分に帰着させれば
P(N(0.1)≦ｘ）が利用できるはずです。

お礼

返信ありがとうございます！一つまた教えていただきたいのですが
密度関数がf(x)＝√x*e^(-2x) (x>0）の分布関数を求めたいのです。
FX(x)=P(X=x)=∫[0,x]√y*e^(-2y)dy
y=(t/2)^2=t^2/4 とおくと
∫[0,x]t/2*e^(-t^2/2)*t/2dt=1/4∫t^2*e^(-t^2/2)dt
となりここで部分積分を用いて
=1/4{[t*e^(-t^2](0,x)-∫[0,x]e^(-t^2/2)dt

となるのですが最後の項の
∫[0,x]e^(-t^2/2)dtの計算はどのようにやればいいのでしょうか？？ 範囲が[0,x]なのですがどうでしょうか？？

回答No.2

Tacosan

標準正規分布は 0 を中心にして対称だから, その密度関数 (1/√(2π))e^(-x^2/2) を -∞ から 0 まで積分すれば 1/2.