【至急】正規分布の問題です

質問

標準正規分布N（０，１＾２）の確立密度関数をｆ（ｔ）とする。すなわち、ｆ(t)=1/√２π・exp(-t^2/2)とする。ｆ（ｔ）について、∫ ｔ・ｆ（ｔ）ｄｔ＝０
と∫ ｔ＾２・ｆ（ｔ）ｄｔ＝１が成り立つ。

（どちらとも∫のー∞から＋の無限大まで）

このとき
（１）確率変数Zは標準正規分布N（０、１＾２）に従っているとする。この時、
E(Z)＝０、 V(Z)＝０を示せ。

（２）確率変数Xは正規分布N(ｍ、σ＾２)に従っているとする。このとき、E(X)＝ｍ、 V(X)＝σ＾２を示せ。

この問題がわかりません。どなたかよろしくお願いします。本当にお願いします

回答No.1

fluidicB

（１）
E(Z)＝∫ ｔ・ｆ（ｔ）ｄｔ　　（期待値の定義式）
　　＝０　　　　　　　　　　　（問題文の情報）

V(Z)＝E(Z^2)-{E(Z)}^2　　　　　（分散の基本公式）
　　＝∫ ｔ＾２・ｆ（ｔ）ｄｔ＝１　（問題文の情報）

示すべきはV(Z)＝０じゃなくて１ですよね

（２）
正規分布N(ｍ、σ＾２)の確率密度関数g(t)は
g(t)=1/(√２πσ)・exp{-(t-ｍ)^2/(2σ＾２)}　　（正規分布の定義式）
Z=(X-m)/σ とおくと、　　　　　（標準化）
　（混乱を避けたかったら(1)で使っているZという文字を一旦使わない方がよいかもしれないけど、
　　結果的にはこれが(1)に出てくるZ）
確率変数Zは1/√２π・exp(-t^2/2)=f(t)に従う
　　　（指数部を単純に置換して、dz=1/σ・dx な関係から）

E(aX + b)＝a E(X) + b　　（期待値の加法定理）　を用いると
E(X)=E(σZ + m)　　（標準化式の逆）
　　=σE(Z) + m
　　=m　　　（（１）で示したようにE(Z)=0だから）

V(aX + b)=a^2 V(X)　　　　（分散の基本公式）　を用いると
V(X)=V(σZ + m)　　（標準化式の逆）
　　=σ^2 V(Z)
　　=σ^2　　（（１）で示したようにV(Z)=1だから）