統計学（F分布）について

質問

本にF分布の直観的理解として「2つのまったく等しい母集団から得た標本から計算した2つの推定母分散の比」と解説されていました。一方、直観的でないF分布の解説として「2つの独立な変数YとZがあり、Yは自由度mの、Zは自由度nのカイ2乗分布にそれぞれ従うとすると、（Y／m）／（Z／n）は自由度（m、n）のF分布に従う」があります。
しかし、上記の直観的な解説内容と直観的でない解説内容が、同じことのはずなに、頭の中でつながりません。
どなたか、両者をつなげる解説を宜しくお願い致します。

回答No.2

noname#227064 · ベストアンサー

> σ＾2／σ＾2となって、分母分子をσ＾2で割ると、
> （σ＾2／σ＾2）／（σ＾2／σ＾2）
> となる。分母分子にNを掛けると、共に自由度Nのカイ2乗分布に従う変数となる…でよいでしょうか？

それでは分母分子ともに１で定数になります。

> （σハット＾2にしてN－1を掛けた方がよろしいでしょうか？）

2つの推定母分散の比なのでこちらでないといけません。
ただし、分母分子で同じ自由度になるとは限りません。

X1, X2, ... Xn, Y1, Y2, ... Ymを平均がμ、分散がσ^2である正規分布に従う独立な確率変数とします。
X1, X2, ... Xnを用いて母分散の推定すれば、
a^2 = Σ(Xi-ΣXi/n)^2/(n-1)
がその推定量であり、同様にY1, Y2, ... Ymを用いれば、
b^2 = Σ(Yi-ΣYi/m)^2/(m-1)
が同じくその推定量になります。

「2つのまったく等しい母集団から得た標本から計算した2つの推定母分散の比」、つまり
a^2/b^2
を分母分子を母分散σ^2で割ると
a^2/b^2 = (a^2/σ^2)/(b^2/σ^2)
= [{(n-1)a^2/σ^2}/(n-1)] / [{(m-1)b^2/σ^2}/(m-1)]
と変形できます。
(n-1)a^2/σ^2と(m-1)b^2/σ^2は独立にそれぞれ自由度n-1, m-1のカイ二乗分布に従うので、「2つの独立な変数YとZがあり、Yは自由度mの、Zは自由度nのカイ2乗分布にそれぞれ従うとすると、（Y／m）／（Z／n）は自由度（m、n）のF分布に従う」ことから、a^2/b^2は自由度(n-1,m-1)のF分布に従うことがわかりました。

お礼

いつも丁寧な解説、有難うございます。先程から計算過程を追って理解に努めているところです。前回の質問（t値を2乗するとF値）の回答内容をしっかり理解しないと今回の内容が理解できないですね。
現在、頭の中でつながりつつありますが、お返事が遅くなりますので、ベストアンサーを出して本質問を閉じたいと思います。
有難うございました。

回答No.1

noname#227064

> 「2つのまったく等しい母集団から得た標本から計算した2つの推定母分散の比」

二標本とも分散は等しいのでこれをσ^2とおきます。
次に、上の比の分子と分母を両方σ^2で割ってみましょう。
そこからカイ二乗分布に従う変数を見つけてください。

お礼

ご回答有難うございました。感謝しております。
σ＾2／σ＾2となって、分母分子をσ＾2で割ると、
（σ＾2／σ＾2）／（σ＾2／σ＾2）
となる。分母分子にNを掛けると、共に自由度Nのカイ2乗分布に従う変数となる…でよいでしょうか？
（σハット＾2にしてN－1を掛けた方がよろしいでしょうか？）
また、理論上、比は1になると思いますが、推定母分散なので標本変動により微妙に推定母分散の値が異なった場合はどうなるのでしょうか？
よろしければ、お願い致します。