線形代数学について

質問

行列の計算はできるのですが(当然ですかね・・・)、行列というものが実感できずにいます。試験では問題ないのですが、何か納得いかないというかすっきりしません。次元とかランクって、一体何なのでしょうか。
またこれとは関係ないのですが、シグマを使って表したベクトルの変換則がよくわかりません。
どちらか一つでもご回答頂けると有難いです。お願いいたします。

回答No.5

KENZOU · ベストアンサー

＃２のKENZOUです。
＞次元とかランクって、一体何なのでしょうか。
線形代数のポイントを以下に復習しておきましょう。
＜正方行列＞
m行n列の行列を考えます。そしてm＝nの場合、つまり行の数と列の数がｎに等しい場合の正方行列をｎ次正方行列またはｎ次行列と呼んでいます。
＜正則行列＞
任意の正方行列Ａに対して関係式
　ＸＡ＝Ｅ　　(1)
を満足するような正方行列Ｘが存在するとき、行列Ａは正則であるといい、行列Ｘを行列Ａの逆行列と言いＡ^-1で表す。ここでＥは対角成分が１でその他は０の正方行列ですね。
　Ａ^-1Ａ＝Ｅ　(2)
行列Ａが正則であれば、Ａの行ベクトル、列ベクトルは1次独立であることが証明されます（1次独立ってなんやということは線形代数のテキストを参照してください）。
＜線形方程式＞
連立2元1次方程式を考えましょう。
　ａ11x1＋ａ12x2＝b1　　(3)
　ａ21x1＋ａ22x2＝b2
x1,x2は次ぎの行列方程式の解となります。
　｜ａ11　ａ12｜｜x1｜＝｜b1｜　　(4)
　｜ａ21　ａ22｜｜x2｜　｜b2｜　　　
(4)は次ぎのようにベクトル方程式で書くと
　Ａｘ＝ｂ　　(5)
とシンプルに書けますね。
(5)の方程式は線形性(※）を持っていることから線形方程式といいます。
(※）Ａ(ｘ＋ｙ)＝Ａｘ＋Ａｙ、Ａ(ｃｘ)＝ｃＡｘ
さて、行列Ａが正則であれば、その逆行列が存在しますから、(4)の左からＡ^-1をかけると
　Ａ^-1(Ａｘ)＝(Ａ^-1Ａ)ｘ＝Ｅｘ＝Ａ^-1ｂ　(5)
となり、求める解ｘは
　ｘ＝Ａ^-1ｂ　　(6)
となります。これからｂ＝０の線形同次方程式
　Ａｘ＝０　
は、Ａが正則であれば、ただ1つの解ｘ＝０を持ちことが分かります。
＜ランク＞
いよいよ行列のランク（階数）に入りましょう。
行列Ａがｎ次で、正則であるとき、行列Ａのランクはｎであると言います。これをrankＡ＝ｎと書きますね。ここで、ゼロ行列は次数に関係無くランクは０であるとします。
ところで正則でない行列Ｄを考えましょう。行列Ｄからいくつかの行と列を取り除いた部分行列が正則であったとし、その次数がｎ（＞１）であれば
　rankＤ＝ｎ　(7)　
となります。そんな部分行列がない場合でも、1次の部分行列の中で少なくとも1つは正則なものが存在しますね（例えば（１）、この逆行列は存在して（１）。従って正則行列である）。このとき行列Ｄのランクは１といいます。
以上から次ぎの重要な定理が導かれます。
[定理]
ｎ次の行列Ａのランクがｒ(<n)であるなら、Ａの行（列）ベクトルのうちには1次独立なｒ個の行（列）ベクトルの組が存在して、他のｎ－ｒ個の行（列）ベクトルはこれらｒ個の行（列）ベクトルの1次結合として一意に表される。
→つまり行列のランクというのは1次独立な行（あるいは列）の数を表しているのですね。
＜座標変換＞
2次元直交変換
　ｘ＝Ｐｙ　　(8)
を考えます（→具体的には＃２を参照）。
このＰを座標変換行列と呼んでいますが、当然逆変換もあるわけですから、Ｐの逆行列も存在しますね。
　ｙ＝Ｐ^-1ｘ　(9)
つまりＰは正則行列であり、今の場合ランクは２となりますね。
このあと、固有値や2次形式にと話は発展して行くのですが、上のポイントをしっかり理解しておけばさして抵抗無く進んで行けるとおもいますので頑張ってください。

補足

わかりやすいご説明ありがとうございます。すっきりしました。
ところで、R^nとかR^2という記号(?)を目にするのですが、これはランクがnだとか2である行列のことを表しているのでしょうか。テキストを読んでもある時点から説明無しにいきなり使われていて、今まで疑問だったのですが。

回答No.6

KENZOU

＃５のKENZOUです。
＞R^nとかR^2という記号(?)を目にするのですが、
Ｒという表記は線形空間の中で実線形空間とか実ベクトル空間であることを意味します。そしてｎはその空間の次元を表しているということですね。この辺の分かりやすい詳細な説明は参考ＵＲＬに載っていますので一度ご覧になってください。
＜辿りつくまで＞
URL→TableofContents→関数解析→線形空間

参考URL：

http://www007.upp.so-net.ne.jp/masema/index.html

お礼

参考URLは線形だけでなくいろいろと役立ちそうです。ありがとうございました。

回答No.4

grothendieck

tubriさん、こんにちは。ご存じの様にランクにはいろいろな定義の仕方があります。適当な基底を決めた時、線形写像φを表わす行列がAになるとします。
ランクの定義その１
　Aのランクとは独立な列の数
　　→AのランクはImφの次元と等しい。
ランクの定義その２
　Aのランクとは独立な行の数
　　→AのランクはKerφの余次元と等しい。
ランクの定義その３
　Aのランクとは0でない最大の小行列式の次数
　　→？？？
誰か定義その３の意味を教えて下さい(って回答になってないじゃないか)。
行列の固有多項式は小行列式の和が係数になっていた様に記憶しています。すると固有多項式の0でない解は重複度をいれてrankA個以下ということになりますが、これはなにを意味しているのでしょうか。
小行列式というと私はフレドホルムの小行列式ぐらいしか知りませんが他に小行列式が使われるものがあったら教えて下さい。

お礼

小行列式という言葉は聞いたことないです、すみませんm(_ _)m
お礼遅くなってしまってすみませんでした。ちょっと病床に臥せっていたもので。ご回答、ありがとうございました。

回答No.3

graphaffine

回答になるかどうか分かりませんが、一応私見を
述べさせてもらいます。
行列とは、数を縦横に並べたものですよね。それを
ベクトル空間の要素（即ち、ベクトルですね）とみることもできる。ということを大学では教えていると思いますが、別にそのように見なければならないと言う事ではありません。
例えば、ベクトル空間とは一見関係無さそうな魔方陣も立派な行列です。で、逆に本当にベクトル空間と魔方陣が全く無関係なのかどうかと考える事も面白いと思いますよ。

実は私は趣味で、これに似たような事を考えていますが。

お礼

ご回答ありがとうございました。線形代数学について理解をもっと深めたら、やってみたいと思います。

回答No.2

KENZOU

KENZOUです。＃１のmuutaさんが
＞一般社会では行列を使ってしばしば計算する人は少数派でしょう。連立方程式が解けるといったって、連立方程式なんか解かないもん、普通の生活では。
という言葉を真にうけるのはマズイ（尤もmuutaさんの本意ではないと思うが）。確かに一般の生活ではそうかも知れないが、少なくとも学生時代は勉強が仕事ですから、分からないことに対して理解する努力を惜しむのは残念なことです。この意味で、muutaさんの言葉は反語として理解すべきでしょう、と、老婆心ながら一言まで。さて、
＞シグマを使って表したベクトルの変換則がよくわかりません。
ｘｙ座標系にベクトルＡを考えます。今原点を中心に反時計周りに角度θ回転させた座標系Ｘ，ＹでベクトルＡがどうなるのか考えてみましょう。
ｘｙ座標系でのＡベクトル成分を(A1,A2,A3）します。次に回転した座標系ＸＹでＡベクトルはＡ’ベクトルに変換され、その成分を(A1',A2',A3')とすると各成分間の関係は
　A1'＝A1cosθ－A2sinθ
　A2'＝A1sinθ＋A2cosθ　　　(2)
となりますね。？と思うときは線形代数のテキストを見てください、回転座標系のことは大抵載っていますから。
(2)は行列で書き直すと非常にスッキリと見やすい形になります。つまり式の扱いに大変見通しがよくなる。
　｜A1'|＝｜ｃｏｓθ　－ｓｉｎθ｜｜A1|
　｜A2'|　｜ｓｉｎθ　　ｃｏｓθ｜｜A2|

　　　　＝｜ａ11　ａ12｜｜A1|　　　(3)
　　　　　｜ａ21　ａ22｜｜A2|　　
と書けますね。この(3)式の右辺の左の行列は回転行列と呼ばれています。
ここで、a11=cosθ、ａ12=-sinθ、・・・
するとAi'は
　A1'＝ａ11・A1＋ａ12・A2　　　(4)
と書けます((2)を焼き直しただけ）。これはΣを使うと
　A1'＝Σａ1j・Aj、(Σはj=1,2の足し算)　　(5)
とかけますね。そこでもっと一般的にAi'成分を書くと
　Ai'＝Σａij・Aj、(i=1,2／Σはj=1,2についての足し算)(6)
となる次第です。回転行列の条件として他にいろいろありますが、それはテキストで調べてください。
(P.S)式(4)～(6)での・を内積記号と誤解しないように。分かりやすく・を書いただけで中味は掛算。

お礼

そういうことだったんですか!ありがとうございます、合点いきました。今まで(3)までの式と(5)の式をつなげて考えることをしませんでした。今から考えると不思議ですが。分かりやすいご説明ありがとうございます。
＞＞一般社会では行列を使ってしばしば計算する人は少数派でしょう。連立方程式が解けるといったって、連立方程式なんか解かないもん、普通の生活では。
という言葉を真にうけるのはマズイ・・・
そうですね、別に将来役に立つから勉強するとか役に立たないから勉強しないという見方はしてません。勉強が好きでもっと学びたくて学生になったわけですし、だからこそ公式を使って答えを出す計算だけをしている自分が納得いかなかったので、ここで質問させていただきました。
どうもありがとうございました。

回答No.1

noname#6587

質問の趣旨と違うかもしれませんが、、、

最初の質問に対し、、、同感です。単なる算法。数学とか物理の中では重要かも知れませんが、一般社会では行列を使ってしばしば計算する人は少数派でしょう。連立方程式が解けるといったって、連立方程式なんか解かないもん、普通の生活では。
　次元とかランクの意味は、教科書に書いてあるとおりでしょう。それ以上でもそれ以下でもないのでは。
　あまり、気にしないほうがベター、たいしたもんじゃないです。

二個目の質問に対し、、、質問自体が分りません。

（因みに私は、５０過ぎの電気関係エンジニアです。
または、でした。行列は学生のとき勉強したけど、不要でした、私の場合。）

お礼

そうなんですか。どうもご回答、ありがとうございました。