像、核（線形代数の問題です）

質問

線形変換T：K^3→K^3の、K^3の基本ベクトルからなる基底
＜e1,e2,e3＞に関する行列が
┌1　3　6┐
│3　1 -2│（＝Ａとします）
└1　1　1┘
のとき、Tの像（ImT）の次元、ImTの基底を一組求めよと言う問題なのですが、
dim(ImT)＝rankA＝2でいいんですよね？
また、基底も求めてみたのですが
　┌ 3┐　┌(-1)┐
＜│-2││ 0　│＞
　└ 2┘, └　2 ┘
で合っていますでしょうか？
また、「K^3の基本ベクトルからなる基底＜e1,e2,e3＞に関する行列が」
この問題文の一文に深い意味はあるのでしょうか？
この問題、解答がなく不安でして・・・。どなたか解いてみていただけないでしょうか？よろしくお願い致します。

回答No.1

yumisamisiidesu

rankを求めるとき、次元定理でもいいと思います
って言うか他に思いつきマシンでした(><)
dim(kerT)=1を示す方が楽な感じします

ベースの求め方
基本ベクトル三つのうち二つを移してそれで答え

>また、「K^3の基本ベクトルからなる基底＜e1,e2,e3＞
>に関する行列が」
>この問題文の一文に深い意味はあるのでしょうか？

あります、本来行列の定義はただ、数を碁盤目状に並べた
ものと定義しますが、行列は、(dim<∞の)線形写像と一対一に対応していることが重要な性質なんです
そして、ある線形写像が与えられてもに対して、それだけで行列は確定せず、基底の取り方によって決まるんです

それから、対角化の問題のアドバイスNo2ですが、あれ不適切だと思います。(inverseでないですね)

お礼

で、結局は

dim(ImT)＝rankA＝2でいいんですよね？
また、基底も求めてみたのですが
　┌ 3┐　┌(-1)┐
＜│-2││ 0　│＞
　└ 2┘, └　2 ┘
で合っていますでしょうか？

これであってるんですか？