この線型代数の回答教えてください

質問

１、

　　　　　　「１　　－2　　１　　　３　　０　　２　┐
行列Ａ＝｜－2　　５　　－3　　－4　　０　　－1｜
　　　　　　｜３　　－8　　５　　　11　　０　　３ ｜
　　　　　　└－1　　２　　－1　　 ３　　０　　１　」

　　Ｂ＝「１　０　０　２┐
　　　　└２　０　０　０」　　　に対して、
線型写像φＡ、φＢＡの核空間及び像空間の次元を求めよ。

２、R^(3)の線型変換φが、単位ベクトルe_1,e_2,e_3について、
　　　　φ(e_1)=(1,0,1) φ(e_2)=(1,1,2) φ(e_3)=(1,-1,0)
　　となるとき、
（１） φ（１，２，３）を求めよ
（２） Ker（φ）及びφ(R^(3))の基底を一組求めよ。

回答No.1

hismix · ベストアンサー

像空間の次元というのは階数のことです
階数の求め方はどんな演習書にものっているので
ぜひ適当な演習書を見てみてください。
たぶん同じ問題があるでしょう。

２番は答えましょう
φが線型変換であることから
φ（１，２，３）＝φ（１，０，０）＋２φ（０，１，０）＋３φ（０，０，１）
＝φ（e1）＋２φ（e2）＋３φ（e3）
＝（１，０，１）＋（２，２，４）＋（３、－３，０）
＝（６、－１，５）
となります

Ker（φ）とはφ（x,y,z)＝（０，０，０）の解（x,y,z)がなす空間の次元のことです
だからこの式を解いてやればいいわけです
ぼくは解いてないので答えは知りませんが
実際といてみてたとえば（x,y,z)＝（１，２，３）のみ
となったらこれは１点ですから０次元です
（x,y,z)＝ｋ（１，２，３）、ｋは実数
となれば１次元です
このように不定数の数が次元の数になります

核がわかれば次元公式によりφ(R^(3))が求まります