3×2行列の混合戦略のナッシュ均衡の問題

質問

1 / 2 戦略1 戦略2
戦略1 4,0 2,5
戦略2 1,2 5,1
戦略3 2,6 3,3

この混合戦略のナッシュ均衡を解くことができません。
1が戦略1・2・3をとる確率をそれぞれp、q、1-p-q、2が戦略1・2をとる確率をs、1-sとおいて、期待利得を導くまではできるのです。

1の期待利得　戦略1:4s+2(1-s)=2s+2　戦略2:s+5(1-s)=-4s+5　戦略3:2s+3(1-s)=-s+3
2の期待利得　戦略1:2q+6(1-p-q)=-6p-4q+6　戦略2:5p+q+3(1-p-q)=2p-2q+3

まず1ですが、期待利得が2種類である2×2行列と違って、期待利得が3種類存在します。
また、2については変数がp・qの2種類あるので、どう処理してよいものかわかりません。

支配戦略が存在しないので、消去して2×2行列にするわけでもなさそうです。
ここから先の解法を教えてください。よろしくお願いします。

回答No.1

f272 · ベストアンサー

> 1の期待利得　戦略1:4s+2(1-s)=2s+2　戦略2:s+5(1-s)=-4s+5　戦略3:2s+3(1-s)=-s+3

ここから
プレイヤー1の利得は
p(2s+2)+q(-4s+5)+(1-p-q)(-s+3)=p(5+s)+q(8-5s)+(3-s)
になるので
プレイヤー1の最適反応戦略は
s>1/2のときはp=1、q=0で戦略1
s<1/2のときはp=0、q=1で戦略2
s=1/2のときはp+q=1で戦略1または戦略2
となります

同様に
プレイヤー2の利得は
s(-6p-4q+6)+(1-s)(2p-2q+3)=s(3-8p-2q)+(3+2p-2q)
になるので
プレイヤー2の最適反応戦略は
8p+2q<3のときはs=1で戦略1
8p+2q>3のときはs=0で戦略2
8p+2q=3のときはs=不定で戦略1または戦略2
となります

ここから
p=1/6、q=5/6、s=1/2
が導かれるでしょう。

お礼

回答ありがとうございます。

まずプレイヤー1の最適反応戦略ですが、なぜs=1/2を基準に分かれるのでしょうか？

あと、s=1/2が確定したとして、8p+2q=3だけではp、qの値を確定できないと思うのですが、どうやってp=1/6とq=5/6を求めるのでしょうか？

補足

すみません。自己解決しました。
ありがとうございました。