展開型ゲームにおける混合戦略

質問

展開型ゲームにも混合戦略均衡ってあるんですか？完全・完備情報は仮定されてます。例えばプレイヤーが２人いて始めのプレイヤーはどうやっても行動が観測されてしまうから彼に混合戦略はないですよね？でも後に動くほうは混合戦略を持つことによって前者の行動を規定できるとも思うのですが、考え方・計算の仕方共にはっきりとしません。各自２つの戦略を持っているとして、ノーマルフォームに置き換えると８通りの戦略の組み合わせができるのですが、後者の４つの戦略に確率を振り分けるとpと1-pのように簡単には行きません。考え方をご教示くださいませ。

回答No.1

noname#78613

＞展開型ゲームにも混合戦略均衡ってあるんですか？
あると思います。というのも、後手のプレイヤーが先手のプレイヤーの戦略に
関わらず同じ混合戦略を用いると仮定してしまえば、混合戦略を含めた
ノーマルフォームのゲームに書き直せるからです。

そのような仮定がなくても、混合戦略の均衡はあります。くだらない例
ですが、各プレイヤーがどんな戦略を選んでもそれぞれ１の利得を得る
というゲームを考えてみてください。すると、各プレイヤーがどんな
混合戦略を選んでもその組み合わせはベイジアン・ナッシュ均衡になります。

＞始めのプレイヤーはどうやっても行動が観測されてしまうから彼に混合戦略
はないですよね？
始めのプレイヤーにも混合戦略を考えることはできると思います。先ほどの
例でみましたよね。

＞考え方・計算の仕方共にはっきりとしません。
純粋戦略しか採れないケースであれば８通りの戦略の組み合わせというのは
正しいのですが、混合戦略のケースであれば違います。

先手プレイヤーの純粋戦略を１，２、後手プレイヤーの純粋戦略をa,bと
呼びましょう。すると、先手プレイヤーの戦略は確率qで戦略1をとり、
確率1-qで戦略bをとる、になります。一方、後手プレイヤーの戦略は
先手プレイヤーが戦略1を選んだ場合確率p1で戦略aを、確率1-p1で戦略b
をとり、先手プレイヤーが戦略2を選んだ場合確率p2で戦略aを、確率1-p2で
戦略bをとる、になります。
つまり、q、p1、p2を所与とすれば、戦略の組み合わせは１通りになります。
もちろん、それぞれ0から1の値を自由にとることができるので、戦略の
組み合わせの数は無限になります。

お礼

大変わかりやすく且つ丁寧に解説していただき感謝します。不審点が解決されました。
ありがとうポイントなるものを進呈したいのですがやり方がわかりませぬ‥