２つの混合ナッシュ均衡だけ、のゲーム

質問

dog-marble さんに答えていただいた質問に関連するのですが、

(1) 純粋ナッシュ均衡がなくて
(2) 混合ナッシュ均衡が２つある
ようなゲームというのは存在しうるのでしょうか？

回答No.3

dog-marble · ベストアンサー

> 混合ナッシュ均衡２つだけのゲームがある、ということは
> 「'generic'にはナッシュ均衡は奇数個である」というのに
> 矛盾しないでしょうか。

回答No.2であげた例は、特殊例になっています。プレーヤー１の
(T,L)の利得をごく微小に増加させると、均衡は１つになります。

混合戦略均衡３つのみのゲームは、

---L---C---R--
T 1,-2 0,0 0,1
M 0,2 1,0 0,-3
B 0,2 0,0 1,1

(1/2 T + 1/2 M, 1/2 L + 1/2 C)
(1/4 T + 3/4 B, 1/2 L + 2/3 R)
(1/2 T + 1/4 M + 1/4 B, 1/3 L + 1/3 C + 1/3 R)

です。

お礼

３つの例なるほどです。
いろいろありがとうございました。

また疑問があるので新規質問にさせてください。

回答No.2

dog-marble

初めの質問への例がみつかりました。
(読みにくくてすみません。スペースが思うように入れられません)

---L---C---R--
T 2,-2 -4,0 -1,2
M 0,1 0,0 0,-4
B -2,1 1,0 1.-1

(1/3 T + 2/3 M, 2/3 L + 1/3 C)
(1/3 T + 2/3 B, 1/3 L + 2/3 R)

の二つの混合均衡のみになります。

> あと、奇数個というのはすべてのナッシュ均衡、つまり
> 純粋戦略ナッシュ均衡の数 ＋ 混合（確率つき）ナッシュ均衡の数
> のことでしょうか？

そうです。

> ---L ---R
> T e1,e2 0, 0
> B 0, 0 e3,e4
>
> e1, e2, e3, e4 > 0

この場合は、純粋均衡が二つ(T,L),(B,R)と混合均衡が一つ存在し、
合計３つになります。

> 微小変動で "generate" される、といった意味で generic なのでしょうか。

特殊なケースを除いて「一般的」に成り立つという意味での　generic だと
思います。

> (1) 純粋ナッシュ均衡がなくて
> (2) 混合ナッシュ均衡が「３つ」ある
> ようなゲームというのは存在しうるのでしょうか？

多分あると思います。例を作るには、また、少し考えないといけませんが（笑）。

お礼

> この場合は、純粋均衡が二つ(T,L),(B,R)と混合均衡が一つ存在し、
> 合計３つになります。

確かにそのとおりですね。ありがとうございます。
あと、generic の意味もありがとうございました。

ところで、

> 初めの質問への例がみつかりました。

確かにそうなっていますね。ありがとうございます。

ただ、少し混乱してきたのですが、
混合ナッシュ均衡２つだけのゲームがある、ということは
「'generic'にはナッシュ均衡は奇数個である」というのに
矛盾しないでしょうか。

それで、混合ナッシュ均衡１つ、の次は
混合ナッシュ均衡３つ、となるのかなと思っていました。

> 例を作るには、また、少し考えないといけませんが（笑）。

ありがとうございました。とても勉強になります。
（ナッシュ均衡であることを確認することはなんとかできるのですが
ゲームを作るのは 難しいです）

回答No.1

dog-marble

プレーヤー数、戦略数が有限なゲームでは'generic'にはナッシュ均衡は奇数個であるというのが証明されています。

'generic' の意味はご存知でしょうか？例えば、

---L---R
T 0,0 0,0
B 0,0 0,0

というゲームは無限個の混合均衡がありますが、これはすべての利得が
同じという特殊な性質に依存していて、利得をどんなにごく微小にでも
変更すれば均衡が奇数個のゲームにすることができます。
このような命題を 'generic' に成り立つといいます。

特殊な例で、混合均衡２つのみという例が作れるかどうかは、
わかりません。考えればあるかもしれませんが、今のところ思いつきません。

お礼

dog-marbleさんありがとうございます。generic は知りませんでした。
微小変動で "generate" される、といった意味で generic なのでしょうか。

ところで

---L---R
T 0,0 0,0
B 0,0 0,0

の微小のエラーが e1, e2, e3, e4 > 0だったとして

---L ---R
T e1,e2 0, 0
B 0, 0 e3,e4

なら２個（偶数）になってしまいますが、
この考え方の何が間違っているのでしょうか？？

あと、奇数個というのはすべてのナッシュ均衡、つまり
純粋戦略ナッシュ均衡の数 ＋ 混合（確率つき）ナッシュ均衡の数
のことでしょうか？

> 今のところ思いつきません。

もしわかったらお願いいたします。

補足

dog-marble さんの回答を拝読させていただいて、
少し質問を考え直しました。

(1) 純粋ナッシュ均衡がなくて
(2) 混合ナッシュ均衡が「３つ」ある
ようなゲームというのは存在しうるのでしょうか？