混合戦略の求め方を教えて下さい！（非ゼロ和ゲーム）

質問

Ａ，Ｂの２人がいる非ゼロ和ゲームにおいて
（Ａ，Ｂ）
（ドラマ、ドラマ）＝（７，３）
（ドラマ、バラエティ）＝（４，６）
（バラエティ、ドラマ）＝（５，５）
（バラエティ、バラエティ）＝（６，４）
という利得行列があります。
これについて、混合戦略を求めたいのですが、
Ａがドラマを選択する確率をｐ、バラエティを１－ｐ
Ｂがドラマを選択する確率をｑ、バラエティを１－ｑ
とすると、

Ｅ（Ａ）＝７ｐｑ＋５（１－ｐ）ｑ＋４ｐ（１－ｑ）＋６（１－ｐ）（１－ｑ）
＝７ｐｑ＋５ｑ－５ｐｑ＋４ｐ－４ｐｑ＋６－６ｑ－６ｐ＋６ｐｑ
＝４ｐｑ－ｑ－２ｐ＋６
＝（４ｐ－１）ｑ－２（ｐ－３）

∴０≦ｐ≦1/4

とここまでは分かったのですが、答えをどう出せばいいのかわかりません。
ｑの範囲も出した方がいいのでしょうか？
そして、このｐの範囲は、何の意味があるのでしょうか？

どなたか、教えて下さい！！

回答No.5

noname#108554 · ベストアンサー

大きな間違いをしてしまいました。すみません。

playerAが動かせる変数はpなので、E(A)をpでまとめます。すなわち、
Ｅ（Ａ）＝(4q-2)p-q+6
で、あとはこれを最大にすることを考えるので
4q-2>0でp=1
4q-2<0でp=0
4q-2=0でp=なんでもいい。∴q=1/2

ということで、
>ｐもｑも１／２になりましたが・・・
あってそうですね。

お礼

ありがとうございました
テストは無事おわりました。

回答No.4

fushigichan

ERIeriERIさん、こんばんは。
ゲーム理論については、全く知らないのですが、
下記の参考URLは参考にならないでしょうか。

これによると、
P0={(p1,p2)|0≦p1≦1,0≦p2≦1,p1+p2=1}
Q0={(q1,q2)|0≦q1≦1,0≦q2≦1,q1+q2=1}
を、各プレーヤーの戦略をとりうる確率の集合とすると、
ここでは、P=(p,1-p)ですが、これがP0の中から選択されたときに
Ｂは、これに対抗して、E(A)が最小となるQ=(q,1-q)をQ0の中で選ぶということになるそうです。
それを、
min{E(P,Q)|Q∈Q0}
この最小を
minE(P,Q)
Q
とかくと、Ａはこれに対抗して、利益を最大になるように戦略を選ぶので
max minE(P,Q)
P 　 Q

一般に、
max minE(P,Q)≦min maxE(P,Q)
P 　 Q 　　　　　 Q 　 P

が成り立つようです。
また、フォン・ノイマンのミニマックス定理より

max minE(P,Q)=min maxE(P,Q)
P 　 Q 　　　　　 Q 　 P

となる解が存在し、これを最適戦略というようです。

少しでも参考になればと思ったのですが、ここまでしか分かりません。
「非ゼロ和ゲーム」「ゲーム理論」「利得行列」
などで検索してみますと、参考になりそうなページがいくつかありますので
見てみてください。
試験のほう、頑張ってください。あまりお役に立てずにすみません。

参考URL：

http://ysserve.cs.shinshu-u.ac.jp/Lecture/Optimization1/node8.html

お礼

回答ありがとうございます。
テストは無事終わりました。

回答No.3

noname#6201

ANo.#1の方のご指摘どおりですが、もう少し説明を加えるとAが戦略を立てる場合に、Bがどう出るかを考慮するのが混合戦略なので、Aの期待利得E(A)をBがどう出るかに関する確率qの方程式と考え、方程式の最大化問題と捉えます。

この問題設定はそのまま「ゲーム理論入門」日経文庫―経済学入門シリーズ・武藤 滋夫 (著)
にあるのでそちらを参照するのが良いでしょう。
＃試験に間に合うのであれば、ですが。

お礼

ありがとうございました、
テストは無事終わりました

回答No.2

noname#108554

どうでもいいつけたしで間違えました。

×ゼロサムですがコンスタントサムなので本質はゼロサムですね。
○非ゼロサムですがコンスタントサムなので本質はゼロサムですね。

補足

＃３の方の本を借りに行ったのですが、図書館は休館日、本屋にはなかったので、、、
去年違う授業で習った方法でやってみました。

ｐもｑも１／２になりましたが・・・
これで合ってるのでしょうか・・

回答No.1

noname#108554

ゼロサムですがコンスタントサムなので本質はゼロサムですね。
ま、本筋には関係ないのでどうでもいいですが。
それと、なぜいきなり
∴０≦ｐ≦1/4
という結論が出てくるのか分かりませんが、

Ｅ（Ａ）＝（４ｐ－１）ｑ－２（ｐ－３）
がどこで最大になるか考えてみると、
４ｐ－１が正ならq=1
４ｐ－１が負ならq=0
４ｐ－１が0ならqはどの値でも最適戦略
ということで、横軸p、縦軸qとして
どこの点で最良戦略が取られているかを図示すれば
よいでしょう。

補足

回答ありがとうございます。

混合戦略をあまりよく理解できていないのですが、
明日テストのため、何かパターンがあれば・・・と思っています。
Ａの最適戦略を求めるときは、ｑの最大値を求めればいいということでしょうか？
逆にＢのときはｐの最大値を求めることになりますか？

確かにこの問題の最後に図示して解答するように　と書いてありますので、
図示する方が考えやすいということなのでしょうか。

本質を理解していない上で質問しているので、
何言ってるんだ？とお思いになるかと思いますが。。。
よろしくお願いします。