ミクロ経済学

質問

経済学の問題です。
よろしければご教授ください。

二人のプレイヤーA,Bによる同時手番ゲームを考える。二人の戦略空間は等しく、Si=[0,a],(i=A,B)で与えられる。プレイヤーiが戦略(sA,sB)から得られる利得を

ui(sA,sB)={a-sj if si>sj
={1/2a-1/2sj if si=sj
={0 if si<sj
とする。ここでaは正の実数とする。
以下の問いに答えなさい。

1) (a/2,a/2)はナッシュ均衡か否かを理由とともに説明しなさい。
2) (a,a)はナッシュ均衡か否かを理由とともに説明しなさい。
3)支配戦略均衡は存在するかどうか答えなさい。存在する場合は支配戦略均衡を全て求めなさい。また存在しない場合は理由を説明しなさい。

○利得の数式の意味から分かりません。

回答No.2

statecollege · ベストアンサー

ある戦略の組(sA,sB)は、各プレイヤーが自分だけ、その組から逸脱しても、自分の利得が増えないとき、ナッシュ均衡という。
１）では、戦略の組（a/2,a/2)がナッシュ均衡かどうかチェックしてみましょう。このときAの利得uA(a/2,a/2)=(1/2)a-(1/2)(1/2)a=(1/4)aで、a/2から上方へ（たとえば、aへ）逸脱すれば、Aの利得はuA(a,a/2)=a-(1/2)a=(1/2)aとなり、利得は増える。よって、戦略の組(a/2,a/2)はナッシュ均衡ではない！
２）(a,a)はどうか？このとき、Aの利得はuA(a,a)=a-a=0である。いま、Aが自分の戦略をaから下方へ（下方しかない）εだけ変更し、a-εとするなら、Aの利得は
uA(a-ε,a)=0となり（なぜ？）、Aの利得は増えない。Bについても、同じなので、(a,a)はナッシュ均衡であることがわかる。
３）Aにとって支配戦略とはその戦略をとることで、相手Bがどんな戦略をとっても、ほかの戦略をとるよりもAの利得が大きくなるときをいう。明らかに、aはAにとって（ただ一つの）支配戦略である。同様に、aはBにとっても(ただ一つの）支配戦略である。よってて、(a,a)は支配戦略均衡であり、したがってナッシュ均衡である、ということになる。aがAにとって唯一の支配戦略であることを確かめてください。

お礼

漢字間違えてました。
証明の解答ありがとうございます。

回答No.5

statecollege

sA＝aが（Aにとって）支配戦略であることは（同じく、sB=aは（Bにとって）支配戦略。）
uA(a,sB)≧uA(sA,sB)
が成り立つことをすべてのsA<a、sBに対して示せばよい。いくつかに場合分けをする。
i）sB=aのとき
このときは、uA(a,sB)=uA(a,a)=0となり、かつuA(sA,sB)=uA(sA,a)=0(なぜ？）となるので、上の不等式は等式で成り立つ。
ii）sB<aのとき
iia) sA<sBのとき
このときは、uA(a,sB)=a-sB>0で、かつu(sA,sB)=0(なぜ？）となるので、上の不等式は厳密な不等式で成り立つ。
iib)sA>sBのとき
このときは、uA(a,sB)=a-sB, かつuA(sA,sB)=a-sBとなるので、上の不等式は等式で成り立つ。
iic)sA=sBのとき
このときは、uA(a,sB)=a-sB,かつuA(sA,sB)=(1/2)(a-sB)となるので、上の不等式は厳密な不等式で成り立つ。
以上から、上の不等式が成り立つち、aが支配戦略であることが示された。

お礼

照明まで丁寧にありがとうございます。
本当に助かりました。

回答No.4

statecollege

>Si=［0,a］(i=A,B)で与えられる。
と書いてあるのに　利得の数式で、SA,SBがそれぞれ Si,Sjと区別されてるのは分かりやすくするために、アルファベット順になっているだけですか？

あなたの疑問をかならずしも把握できているかどうかわからないのですが、
Si = [0,a] (i=A,B)
は
SA = [0,a] , SB=[0,a]と2本の式で書くところを、一本の式で表す書き方ですが、これはよろしいですか？
同様に、利得の数式の、たとえば、1行目を見てください。
ui(sA,sB) = a - sj if si > sj
のように書けば、
uA(sA,sB) = a - sB if sA > sB
uB(sA,sB) = a - sA if sB > sA
の2本の式で書くところを１本の式で表せるのです。

お礼

わかりました！
ありがとうございます！！

回答No.3

statecollege

まだ理解できませんか？
１）と２）についてはどうでしょうか？
それらが理解出来たら、３）の支配戦略にいきましょう。

お礼

遅くなりすみません。
理解できました。
ありがとうございます。

補足

すみません。追加で質問があります。
Si=［0,a］(i=A,B)で与えられる。
と書いてあるのに
　利得の数式で、SA,SBがそれぞれ Si,Sjと区別されてるのは分かりやすくするために、アルファベット順になっているだけですか？
それとも何か他に理由があるのですか？

回答No.1

statecollege

>利得の数式の意味から分かりません。
わかりませんか？あなたAと相手Bが０からaまでの任意の実数値を選んで、（じゃんけんのように）同時に差し出す。あなたが選んだ値、sA、が相手が選んだ値、sBより大きかったら、あなたの利得uA(sA,sB)はa-sBとなり、小さかったら、0となるし、ｓA=sBだったら、あなたの利得は(1/2)a-(1/2)sBとなる、ということです。相手Bの利得も同様ですので、繰り返す必要はないでしょう。
まず、これが理解できたかどうか答えてください。そしたら、質問に移りましょう。

お礼

解答いただきありがとうございます。
理解できました。