大学入試問題

質問

Ｘ^n＋１をＸ^２＋Ｘ＋１で割った余りを求めよ

どうすればいいのかわかりません泣

回答No.2

mister_moonlight

baseになっているのは、複素数の知識。

x＾3-1＝(x-1)*(x＾2＋x＋1)だから、x＾3-1＝0の3つの解に対して　ω＾3＝1、ω＾2＋ω＋1＝0　‥‥(1)が成立する。
f(x)＝x^n＋１とすると、(1)から　nはmを整数として　3m、3m＋1、3m＋2の3つの場合がある。
・n＝3m　の時、f(ω)＝ω^n＋１＝ω^(3m)＋１＝(ω＾3)＾m＋1＝1＋1＝2.
・n＝3m＋1　の時、f(ω)＝ω^n＋１＝ω^(3m＋1)＋１＝(ω＾3)＾m*ω＋1＝ω＋1.
・n＝3m＋2　の時、f(ω)＝ω^n＋１＝ω^(3m＋2)＋１＝(ω＾3)＾m*ω＾2＋1＝ω＾2＋1＝-ω.

お礼

ありがとうございます！

やってみたらなんとか答に行き着きました泣

助かりました(>_<)

回答No.1

info22_

質問
>Ｘ^n＋１
これは「(X^n)+1」、「X^(n+1)」のどちらですか？

(X^3)-1=(X-1)((X^2)+X+1)
なので
wを(X^3)-1=1の1でない根とすると
X=(-1+i√3)/2=w,-(1+i√3)/2=w^2
また
w^3=1
(w^2)+w+1=0 → w^2=-1-w
という関係があります。

もし,f(X)=(X^n)+1であれば
f(X)=Q(X)(X^2+X+1)+aX+b
f(w)=Q(w)(w^2+w+1)+aw+b=aw+b=(w^n)+1
f(w^2)=Q(w^2)(w^4+w^2+1)+aw^2+b=Q(w^2)(w+w^2+1)+aw^2+b=aw^2+b=(w^(2n))+1
a,bを求めると
a=(w^(2*n)-w^n)/(w^2-w),b=-(-w^(n+1)+w^(2*n)-w+1)/(w-1)

もしw^nなどの乗数nをなくしたければ
n=3m-2,3m-1,3m(mは自然数)で場合分けして剰余定理を使って
Xの次数を落とせばいいでしょう。
w^(3m)=(w^3)^m=1
w^(3m+1)=w^(3m)*w=1*w=w
w^(3m+2)=w^(3m)*w^2=1*w^2=w^2=-1-w
という関係を使います。

お礼

ありがとうございます！
ほんとうに助かりました泣(>_<)