- ベストアンサー
整数問題（大学入試）について
- 整数問題についての解説が理解できない
- 整数問題において、３で割った余りや６で割った余りで分類する方法について疑問がある
- ２４で割った余りで分類する方法がわからない
- musaoutosa
- お礼率100% (108/108)
- 数学・算数
- 回答数3
- ありがとう数3
- みんなの回答 （3）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
1. についてはx = n^3とおくと (n^9 - n^3) = (x^3 - x) = (x-1)x(x+1) つまり、「xが何であれ、(x-1), x, (x+1)のうちどれか丁度ひとつが3の倍数」ってこと。 2. については「nが3の倍数でない奇数」ってことは 「nは奇数で、ある整数mがあってn = 3m+1であるかn = 3m+2」ってことは 「ある整数mがあって、n = 3m+1でかつmが偶数あるいはn = 3m+2でかつmが奇数」ってことは 「ある整数kがあって、n = 3(2k)+1あるいはn = 3(2k-1)+2」ってことは 「ある整数kがあって、n = 6k+1あるいはn = 6k-1」ってこと。 3. については「nは２でも３でも割り切れない」ってことは 「ある整数mがあって、n = 6m+1かn = 6m-1」ってこと。 つまり、ご質問の3つの例題は、いずれも（「××で割った余り」の話とは無関係に、）「nが○○であるとき」という条件を素直に式で表現すれば自然に分類の仕方が決まる、というものばかりですね。 > で割った余りで分類するには大変すぎる この観点は的外れ。そんな分類を（「大変すぎる」のはもちろん我慢して、とにかく）試みれば、大抵すぐに行き詰まるでしょ。よっぽど簡単な問題以外ではね。
その他の回答 (2)
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
えー？ 楽をしようとして、詰まって終わるくらいなら、 手間を惜しまず計算すれば、簡単でしょ。 1.「９で割り切れることを示せ」なら、 (n+9)^9 - (n+9)^3 を 9 で割った余りが n^9 - n^3 を 9 で割った余りに等しいことを利用して、 n = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 を代入してみれば 完了です。 2. ３の倍数でない奇数 n は 6 周期で現れるけれど、 ケチケチしてないで、「１２で割った余りを求めよ」なら、 n を 12 で割った余りを考えてしまえばいい。 n^2 ヘ代入する n の個数が、1, 5 の 2 個から 1, 5, 7, 11 の 4 個になるだけ。大した手間ではありません。 3. これも飯盤振る舞いで、 n を 24 で割った余りを考えてしまいましょう。 それでも、n^2 - 1 へ代入する n は、 n = 1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 のたった 8 個です。 もちろん、結果的には、解説に書かれた分類だけで済み、 手間は減らせるのだけれど、それをどうやって思いつくかで 悩んで時間を潰すくらいなら、素直に「割る数」の剰余系で さっさと処理してしまえばいいです。 下手の考え休むに似たり。
お礼
alice_44さん ご回答いただきありがとうございました。 もう少し考えて見たいと思います。
- naniwacchi
- ベストアンサー率47% (942/1970)
こんばんわ。 なんか重複した表現になっているところもあるような気がしますが。 整数問題はこれと言った「定番」がありそうでなさそうな分野です。 いま取り組んでいるように、ある程度数をあたって感覚を身に着けるのが一番だと思います。 それぞれの問題に現れる「割る数」を素因数分解してみてください。 その因数を作り出すために nがどのような数になればよいのかを考えることになります。
お礼
naniwacchiさん ご回答いただきありがとうございました。 もう少し考えて見たいと思います。
お礼
stomachmanさん ご回答いただきありがとうございました。 もう少し考えて見たいと思います。