大学入試の問題

質問

5次式P(x)は
(x+1)^2で割ると余りが5x+2
x-2で割ると余りが3
また
P(0)=-1,P(1)=-5,P(-2)=11
を満たす
P(x)を求めよ

なんですが、前半から
P(-1)=-3,P(2)=3 で
P(x)=ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f
で代入していっても
a,c,eが決まらなくて…

教えてください

回答No.2

Tofu-Yo · ベストアンサー

微分はわかりますか？もし知っていれば、「(x+1)^2で割った余りが5x+2」という条件だけで、P(-1)=-3とP'(-1)=5がわかります。

なぜなら、
P(x)={(x+1)^2}Q(x)+5x+1
とおくと、
P'(x)={(x+1)^2}Q'(x)+2(x+1)Q(x)+5
となるからです。

これを使えば質問者さんがおいたとおりにa～fを定義しても式が6本できて解くことができます。

まだ微分を習っていない場合はちょっと予習のつもりで調べてみたらいいと思います。高校のテキストでは接線の傾きを調べるため、という風に導入されるんだと思いますが、こういう恒等式の問題にも応用が利くことがあるんです。

回答No.1

WiredLogic

＞P(-1)=-3,P(2)=3 で
＞P(x)=ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f
＞で代入していっても
＞a,c,eが決まらなくて…

解らない文字が６つあるので、その路線だと、P(何とか) = かんとか、という式が６つ必要で、あと１つ足りません。

文字の多い連立方程式は、特にも、相当な時間がかかるので、式の数が足りているか、確認してから始めるようにしましょう。

ただ、そうは言っても、条件は、計５つ、どうしても、式が一つ不足します。実は…

＞5次式P(x)は
＞(x+1)^2で割ると余りが5x+2

の部分は、P(-1)=-3 以上の情報量があるので、これをうまく使えば、解決できます。

(P(x) ÷ (x+1)^2 = 何とか … 5x+2 と書いて、よく眺めると (注・余りのある割り算の式は、普通の等式と違う＝等式の性質が成り立たないので、答案に、こう書いてはいけません)

５次式・P(x)を２次式(x+1)^2 で割るのだから、商の何とかは、３次式、ということで…

(答案) ５次式・P(x)を、２次式(x+1)^2 で割った商は、３次式だから、ax^3 + bx^2 + cx + d とおくことができ、
P(x) = (x+1)^2 (ax^3 + bx^2 + cx + d) + 5x+2 … (1) と表すことができる。
与えられた条件から、P(2) = 3, P(0)=-1,　P(1)=-5,　P(-2)=11 であるから…

と、やっていけば、解らない文字は４つで、できる方程式も４つ、これなら解けますね。

お礼

わかりました!
ご丁寧にありがとうございました。