定木とコンパスによる作図問題の単位長さ

質問

定木とコンパスによる作図問題で、
（１）長さをｎ倍ないしｎ等分することは当該線分を与えられるだけで可能。
（２）ある正方形のｎ倍の面積を持つ正方形の作図は当該正方形を与えられるだけで可能。
　いずれも「単位長さ」は必要ありません（どう定めようと結果はかわらない）。
ここで、
　ある長さの平方根をもつ長さは、当該線分が与えられただけでは作図できない。
　単位長さ１の線分が別に必要である（単位長さの定め方によって結果がかわる）。
これはなぜでしょうか（どのように説明しますか）？

回答No.9

alice_44

誰もが、結局同じ意味のことを言っているのだけれど…
A No.1 + 7 が端的で解かりやすいかなあ。
別の言い方をすれば、
「長さの n 倍」は長さそのものの性質であるのに対し、
「平方根の長さ」は長さ自体ではなく、長さを表す数値の性質だから、
線分を長さの数値に変換しないと定義されない。
長さを数値化するためには、単位長の線分が必要
…ということ。

補足

みなさま、ありがとうございます。
alice_44さんの場を借りて補足いたします。

そろそろ、閉じ頃かな、と思いつつ
あえてもう少し、開いたままにさせていただきます。

みなさまの議論を参考にいろいろ考えています。
もし解答があるなら、それは次のことを説明しなくてはならないことに、気がつきました。
（特に√ａｂが単位長なしで作図可能というbanakonaさんのご指摘ありがとうございます）

a,b,cを具体的な線分として与えるとして、

単位長なしでできる作図の例
　√ab, ab/c

単位長が必要な作図の例
　a^2,ab,1/a,b/a,√a

この違いは何に生じる？　

与えられた線分のｎ等分、ｎ倍が単位長なしでできるのは「自明」ですから、問題設定も最初からこのようにすることが適当だったのでしょう。したがって、上記の違いの考察が必要不可欠です。はじめの頃の回答に出していただいた「次元」のような概念が有力かな（上記、作図できる事例は１次元になっています。単位長が必要な作図は１次元ではありません）とは思いますが・・なかなかすっきりした説明が見つかりません。

回答No.8

FT56F001

この線分の長さの平方根を持つ線分を作図せよ，と言われました。
元の線分を物差しで測ると10cmの長さでした。

√10=3.16なので3.16cmの線分を作図したところ，間違いだと言われました。
元の線分は100mmの長さなので，10mmの線分を作図するんだよ。
1cmの線分を作図したところ，間違いだと言われました。
元の線分は0.1mの長さなので，0.316mの線分を作図するのね。
31.6cmの線分を作図したところ，間違いだと言われました。
元の線分は10/2.54=3.93inchの長さをもっています。あなたは長さ1.98inchの線分を描くべきだったのです。
5.03cmの線分を作図したところ，間違いだと言われました。
元の線分は10/3.03=3.3寸の長さやし，1.82寸=5.5cmの線分を描かなあかんで。

お礼

ありがとうございます。
まさに、この不条理？？が問題の出発点です。

回答No.7

Tacosan

「数値ｘの長さの線分Ａがある。」というのは, どうしてわかるの?

回答No.6

noname#154447

数学はさっぱりダメですが、興味深い質問でしたのでお伺い致します。

>ある長さの平方根をもつ長さは、当該線分が与えられただけでは作図できない

と元質問でされており、その後の補足で

>数値ｘの長さの線分Ａがある。
>数値√ｘの長さの線分Ｂを作図したい。
>このとき具体的に線分Ａを与えられても、それだけでは
>何もできないのはなぜか？

とされています。

「ある長さの平方根をもつ長さは、当該線分が与えられただけでは作図できない」
というのは、厳密には

「ある長さの平方根をもつ長さは、当該線分が与えられただけで作図できるとは限らない」
という意味でしょうか？

ｘが４である場合、その平方根を持つ長さはコンパスと定木で作図可能ですよね？

補足

＞「ある長さの平方根をもつ長さは、当該線分が与えられただけでは作図できない」
＞というのは、

＞「ある長さの平方根をもつ長さは、当該線分が与えられただけで作図できるとは限らない」
＞という意味でしょうか？

　違います。

　当該線分に加え、単位長さの線分を与えられればすべて作図できます。逆に当該線分が与えられても単位長さが与えられなければ、作図できません。

　すなわち

　　（１）数値ｘの長さの線分　と　（２）単位長さ１の線分

　が与えられば、数値√ｘの線分の長さが作図できます（（１）の線分は与えられていますので、長さをもっていますが、その長さである数値ｘは単位長さを定めないと決まらないというのがひとつの味噌です）。

　これはｘの値によりません（自然数だろうが、無理数だろうが、超越数であろうが）
　また、ｘの具体的値を知る必要はありません。

回答No.5

FT56F001

定規とコンパスで作図できる/できない，の問題ではなく，
「長さの平方根は，もはや長さではない」
のが本質です。

「ある面積の平方根を持つ長さ」なら分かります。でも，
「ある長さの平方根を持つ長さ」という言葉自体，
次元の考え方からすると異常で，あってはならない問題設定です。
「長さの平方根を，長さ(1次元)と点(0次元)の中間的図形として作図しなさい」
なら，まだ話は分かります(どんな図形なのか，私には分かりませんが_o_)

「ある長さと，もう一つの長さの，相乗平均の長さを作図しなさい」
の方が，次元と言う考え方からは，はるかに正常で納得できる問題設定です。

「ある長さの平方根を持つ長さ」という意味不明の言葉を無視して，
「ある長さと，単位長と定義した長さの，相乗平均の長さ」
と考えるべきだと思います。

補足

みなさまご回答ありがとうございます。
FT56F001さんのスレッドを借りて補足させていただきます。

「ある長さの平方根を持つ長さ」という意味不明ということですが、
次のような意味です。

数値ｘの長さの線分Ａがある。
数値√ｘの長さの線分Ｂを作図したい。
このとき具体的に線分Ａを与えられても、それだけでは
何もできないのはなぜか？　

単位長さを具体的に与えられれば、
数値ｘは原理的に定まるわけですが（定木・コンパスを超えた手段を許容して）
その値を具体的に知らずとも（例えばπであっても）
即座にＢ（√πの長さ）は作図できます。
作図したいのは特定の長さを持つ線分で、無理数次元の不思議な図形では
ありません。

具体的な線分を与えられただけで可能な操作
それに加え単位長さが必要となる操作の違いは
何が原因となっているのか、というのが質問の趣旨です。

回答No.4

banakona

これは、質問者さん自身が言っている「単位長さの定め方によって結果がかわる」からに尽きるんじゃないでしょうか。同じ理由で、単位長さが必要な作図に「与えられた長さの逆数」の作図があります。

（１）や（２）は、これも質問者さん自身が言っている「どう定めようと結果はかわらない」ので、単位長さが必要ない。例えば、与えられた2本の線分ａ，ｂの相乗平均の作図は、√（ａｂ）であるにも拘らず単位長さが不要。

余談：基準となる長さは１じゃなくてもいいんだけど、何でもいいという訳じゃない。例えば自然数ｎならＯＫ（ｎ等分すれば１になるから）。√ｎもＯＫ（ｎは自然数。興味があったら挑戦して下さい）。でも２の立方根やπを基準長さとしてもらっても、与えられた長さの平方根は作図不可能。

回答No.3

masudaya

これは,与えられた長さを単位長さにすれば
平方根の長さは与えられた長さそのものになり,
与えられた長さの半分を単位長さとすれば,
平方子運の長さは単位長さの(正方形の対角線)√(2)倍になる.
このように単位長さによって求める大きさが変わってしまうためです.

平方根図形的の意味を考えてみると
面積に対する長さのようなものとなり,
平方根をかけると言うことは,
次元の異なる値を求めていることになります.
単位で長さは[m]ですが,面積は[m2]となり異なる単位,
このことを単位の次元が違うと言います.
このため,別に単位長さが必要になると思います.
また，ほかの問題と異なり，定数倍などでないため
単位長さが必要になる側面もあると思います.

回答No.2

alice_44

長さの平方根は、長さじゃないからでは？
どんな単位が付くかを考えれば解るはず。
平方根の長さを持つ…とは言いつつ、実際は、
もとの長さと「単位長」を二辺に持つ長方形と
同じ面積を持つ正方形の一辺を求めているだけです。
長さじゃなく、面積の平方根を求めているんですよ。

回答No.1

Tacosan

(長さに関する) linearity かなぁ.